بدست آوردن سینوس یک زاویه در مثلث متساوی الساقین خاص

Question

در مثلث $ABC$ که $AB=AC$ است، میانه ی نظیر ساق $AC$ بر نیمساز زاویه ی $\widehat{C}$ عمود است. مقدار سینوس زاویه ی $\widehat{C}$ را بیابید.

Comments

ببخشید نیمساز ساق AB یعنی نیمساز زاویهC ؟

---

ممنون اشتباه تایپی اصلاح شد.

Answer 1

طبق رابطه سینوس ها در مثلث $ABC$ داریم: $\frac{\sin C}{x}=\frac{\sin A}{y}$ .

از آنجا که $A=180-2C$ لذا خواهیم داشت:

$\frac{\sin C}{x}=\frac{\sin(180-2C)}{y}$ و در نتیجه $\frac{\sin C}{x}=\frac{\sin 2C}{y}$

و باز با استفاده از روابط مثلثاتی داریم:

$$\cos C=\frac y{2x}\tag{1}\label{1}$$ حال در مثلث قائم الزاویه $BOC$ داریم: $\cos C_1=\frac{OC}{BC}=\frac{OC}{y}$

در مثلث قائم الزاویه $MOC$ نیز داریم: $\cos C_2=\frac{OC}{MC}=\frac{OC}{x/2}=\frac{2OC}{x}$

از آنجا که $C_1=C_2$ لذا خواهیم داشت: $\cos C_1=\cos C_2$ و در نتیجه $\frac{OC}{y}=\frac{2OC}{x}$ و این یعنی

$$\frac{2y}{x}=1\tag{2}\label{2}$$ از روابط $\eqref{1}$ و $\eqref{2}$ داریم: $$\cos C=\frac{y}{2x}=\frac{2\times y}{2\times 2x}=\frac{2y}{4x}=\frac 14$$ بنابراین زاویه $C$ حاده است. $$\sin C=\sqrt{1-(\cos C)^2}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$$ .

Comments

من یه سوال برام پیش اومده اگه بخواد مثلثی متساوی الساقین با شرایط مسئله فوق، رسم کنیم چه جوری مسئله حل میشه؟؟

---

@zh : پس یک سوال جدید باز کنید.

---

البته میتوان از اینکه نیمساز زاویه $C$ رسم شده و مجموع زوایا ثابت کنیم دو زاویه ی $D$ و$M$ برابرندپس دو ضلع $BC$و$CM$برابرند یعنی $y$ نصف $X$ است.