طبق رابطه سینوس ها در مثلث $ABC $ داریم: $ \frac{\sin C}{x}=\frac{\sin A}{y}$ .
از آنجا که $ A=180-2C$ لذا خواهیم داشت:
$ \frac{\sin C}{x}=\frac{\sin(180-2C)}{y} $ و در نتیجه $\frac{\sin C}{x}=\frac{\sin 2C}{y} $
و باز با استفاده از روابط مثلثاتی داریم: $$ \cos C=\frac y{2x}\tag{1}\label{1} $$
حال در مثلث قائم الزاویه $ BOC $ داریم: $ \cos C_1=\frac{OC}{BC}=\frac{OC}{y} $
در مثلث قائم الزاویه $ MOC $ نیز داریم: $ \cos C_2=\frac{OC}{MC}=\frac{OC}{x/2}=\frac{2OC}{x} $
از آنجا که $C_1=C_2 $ لذا خواهیم داشت: $ \cos C_1=\cos C_2 $ و در نتیجه $\frac{OC}{y}=\frac{2OC}{x} $ و این یعنی $$ \frac{2y}{x}=1\tag{2}\label{2} $$
از روابط $\eqref{1} $ و $ \eqref{2} $ داریم:
$$ \cos C=\frac{y}{2x}=\frac{2\times y}{2\times 2x}=\frac{2y}{4x}=\frac 14 $$
بنابراین زاویه $ C $ حاده است.
$$ \sin C=\sqrt{1-(\cos C)^2}=\sqrt{\frac{15}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4} $$ .
