اثبات متساوی الساقین بودن مثلثی با این جزئیات:

Question

مثلث ABC دارای این خاصیت است: نقطه ای به نام P درونش وجود دارد که PAB=10° و PBA=20° و PCA=30° و PAC=40°. ثابت کنید ABC مثلثی متساوی الساقین است.

Answer 1

فرض کنیم PBC=x و PCB=y. معلوم است که x+y=80. از طرفی باتوجه به حالت سینوسی قضیه سوا، به راحتی نتیجه می شود که (siny/sinx=1/(4sin40cos10 *

(حتی اگر قضیه سوا رو هم بکار نگیریم با سه بار بکار بردن قضیه سینوس‌ها در مثلثهای PBC، PBA و PAC می‌توانیم به همین نتیجه برسیم.)

فقط درصورتی شرایط بالا برقرارند که x=60 و y=20.(در رابطه * به جای x و y به ترتیب ۶۰ و ۲۰ بذار سپس طرفین وسطین کن و بعدش از فرمول‌های تبدیل حاصلضرب به مجموع استفاده کن تا متوجه درستی رابطه بشی.)

پس مثلث در راس B متساوی الساقین است.

Comments

من قضیه سوا رو نخوندم، میشه قسمتی که سینوس قضیه سوا رو به دست اوردین رو بیشتر توضیح بدین

---

اگه سوا رو بلد نیستی از قضیه سینوس‌ها استفاده کن:
در مثلث PBC داریم: siny/sinx=PB/PC
از طرفی در مثلث PBA داریم: PB=(sin10/sin20)PA
و در مثلث PAC هم داریم: PA=(sin۳0/sin۴0)PC
از همه این ها نتیجه میگیریم که:
(siny/sinx=(sin10/sin20)×(sin30/sin40
که اگر آن را ساده کنیم به همان رابطه * می‌رسیم.