حداکثر تعداد زاویه های تند در یک چند ضلعی

Question

سلام. در یک چندضلعی، حداکثر چند زاویهٔ حاده (تند) می‌توان داشت؟

در متن سوال از منتظم و یا نامنتظم بودن شکل صحبتی نشده‌است.

Comments

من فکر می‌کنم بی‌نهایت زاویه‌ی حاده میتوان داشت.

---

لطفا منبع سوال را ذکر کنید و اگر سوال گزینه‌ای دارد گزینه‌ها را هم قرار بدهید(این کار البته اختیاری است ولی منبع را در صورت وجود حتما ذکر کنید در جای مخصوص خودش)

---

@SinaMoradi منظور این است که یک چندضلعی (که چند یک عدد ثابت است، برای نمونه $n$ بنامید) حداکثر چند تا از زاویه‌هایش می‌توانند تُند باشند. در سه‌گوش هر ۳ زاویه‌ می‌توانند. در چهارگوش، حداکثر ۳ زاویه می‌توانند تند باشند، اگر بیشتر از آن یعنی هر ۴ زاویه تند باشند آنگاه جمع زاویه‌ها از ۳۶۰ درجه کمتر خواهد شد که تناقض است. اکنون پرسش در حالت کلی می‌پرسد یعنی یک $n$ دلخواه ولی ثابت.

Answer 1

اگر یک $n$ -ضلعی محدب منظور باشد، کافیست این را درنظر بگیریم که مجموع زوایای خارجی یک $n$-ضلعی محدب مساوی $360$ است. پس اگر یک $n$-ضلعی محدب بیشتر از سه زاویه حاده داشته باشد نتیجه میشود که بیشتر از $3$ زاویه منفرجه خارجی دارد پس مجموعه زوایای خارجی اش بیش از $360$ میشود که این تناقض است. حال فرض کنیم یک $n$-ضلعی محدب $n\ge 4$، داریم که سه زاویه حاده داشته باشد. زاویه ای منفرجه از این $n$-ضلعی را در نظر بگیریم، وسط اضلاعی که به این زاویه متصلند را به هم وصل میکنیم . یک $n+1$-ضلعی محدب با سه زاویه حاده بدست می آید. بنابراین یک $n$-ضلعی محدب میتواند سه زاویه حاده داشته باشد و نه بیشتر.

Answer 2

می دانیم مجموع زوایای هر نشان می دهیم. m تعداد زاویه های قائمه را با m* مجموع زوایای قائمه میشود: 90 چون هر کدام از آنها کمتر 081 (n-m)* و مجموع آنها کمتر از 180 n-m : تعداد سایر زاویه ها درجه هستند. از طرفی مجموع این زاویه ها برابر است با مجموع کل زوایا منهای مجموع زوایای راست: (n-2)180 – m90 بنابراین : (n-2)180 – m90 ˂ (n-m)180 n180 -2180 –m90 ˂ n180 – m180 -2180 ˂ -m90 4180 ˃ m90 m˂4 ضلعی محدب حداکثر 9 زاویه راست) 31 درجه( وجود دارد. n بنابراین در یک در نتیجه حداکثر تعداد زوایای تند هم همان 9 است.توجه داشته باشید که حداکثر تعداد زوایای تند زمانی اتفاق میافتد که اندازه انها حداکثر)یعنی نزدیک 31 درجه( باشد.