به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
55 بازدید
در دبیرستان توسط Rzm85 (6 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

سلام. در یک چندضلعی، حداکثر چند زاویهٔ حاده (تند) می‌توان داشت؟

در متن سوال از منتظم و یا نامنتظم بودن شکل صحبتی نشده‌است.

توسط sMs (582 امتیاز)
من فکر می‌کنم بی‌نهایت زاویه‌ی حاده میتوان داشت.
توسط sMs (582 امتیاز)
+1
لطفا منبع سوال را ذکر کنید و اگر سوال گزینه‌ای دارد گزینه‌ها را هم قرار بدهید(این کار البته اختیاری است ولی منبع را در صورت وجود حتما ذکر کنید در جای مخصوص خودش)
توسط AmirHosein (10,686 امتیاز)
@SinaMoradi منظور این است که یک چندضلعی (که چند یک عدد ثابت است، برای نمونه $n$ بنامید) حداکثر چند تا از زاویه‌هایش می‌توانند تُند باشند. در سه‌گوش هر ۳ زاویه‌ می‌توانند. در چهارگوش، حداکثر ۳ زاویه می‌توانند تند باشند، اگر بیشتر از آن یعنی هر ۴ زاویه تند باشند آنگاه جمع زاویه‌ها از ۳۶۰ درجه کمتر خواهد شد که تناقض است. اکنون پرسش در حالت کلی می‌پرسد یعنی یک $n$ دلخواه ولی ثابت.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mdgi (1,255 امتیاز)

اگر یک $n$ -ضلعی محدب منظور باشد، کافیست این را درنظر بگیریم که مجموع زوایای خارجی یک $n$-ضلعی محدب مساوی $360$ است. پس اگر یک $n$-ضلعی محدب بیشتر از سه زاویه حاده داشته باشد نتیجه میشود که بیشتر از $3$ زاویه منفرجه خارجی دارد پس مجموعه زوایای خارجی اش بیش از $360$ میشود که این تناقض است. حال فرض کنیم یک $n$-ضلعی محدب $n\ge 4$، داریم که سه زاویه حاده داشته باشد. زاویه ای منفرجه از این $n$-ضلعی را در نظر بگیریم، وسط اضلاعی که به این زاویه متصلند را به هم وصل میکنیم . یک $n+1$-ضلعی محدب با سه زاویه حاده بدست می آید. بنابراین یک $n$-ضلعی محدب میتواند سه زاویه حاده داشته باشد و نه بیشتر.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...