چرا مساحت یک $n$-ضلعی منتظم با طول ضلع $a$ برابر است با $\frac{1}{4}na^2\cot(\frac{\pi}{n})$؟

Question

مساحت یک چندضلعی منتظم با اندازهٔ یال برابر یا $a$ از فرمول زیر محاسبه می‌شود.

$$\frac{1}{4}na^2\cot(\frac{\pi}{n})$$

می‌خواستم اثبات آن را بدانم.

Answer 1

اگر از هر راس به مرکز وصل کنیم $n$ضلعی به $n$تا مثلث همنهشت تبدیل می شود که برای درک بهتر اثبات برای 6 ضلعی زیر یکی از مثلثها را رسم کرده ام.

هر زاویه مرکزی برابر است با تقسیم $2\pi$(زاویه تمام صفحه ) به $n$ قسمت یا $\frac{2\pi }{n}$و طبق قضیه سینوسها مساحت هر مثلث کوچک برابر است با $\frac{1}{2} r \times r \times sin(\frac{2\pi }{n})$

پس باید $r$ را بیابیم اما از قانون کسینوسها داریم:

$$S^{2} =r^{2}+r^{2} -2r \times r \times cos(\frac{2\pi }{n}) =2r^{2}(1- cos(\frac{2\pi }{n}) )$$ با جایگذاری در مساحت ، مساحت هر مثلث کوچک برابر است با: $$\frac{1}{4}S^{2} \frac{sin(\frac{2\pi }{n}) }{1- cos(\frac{2\pi }{n}) }$$ حال از دو فرمول مثلثاتی زیر کمک میگیریم:

$sin(2x)=2sin(x)cos(x) \Rightarrow sin(\frac{2\pi }{n}) =2sin(\frac{\pi }{n})cos(\frac{\pi }{n})$ $1-cos(2x)=2 sin^{2}(x) \Rightarrow 1- cos(\frac{2\pi }{n})=2 sin^{2}(\frac{\pi }{n})$

که با جایگذاری مساحت هر مثلث کوچک برابر است با

$$\frac{1}{4}S^{2} \frac{cos(\frac{\pi }{n}) }{ sin(\frac{\pi }{n}) } = \frac{1}{4}S^{2} cot(\frac{\pi }{n})$$ اما مساحت $n$ ضلعی مساحت $n$ تا مثلث کوچک است پس حکم ثابت شد.