اگر از هر راس به مرکز وصل کنیم $ n $ضلعی به $ n$تا مثلث همنهشت تبدیل می شود که برای درک بهتر اثبات برای 6 ضلعی زیر یکی از مثلثها را رسم کرده ام.
هر زاویه مرکزی برابر است با تقسیم $ 2\pi $(زاویه تمام صفحه ) به $n $ قسمت یا $ \frac{2\pi }{n} $و طبق قضیه سینوسها مساحت هر مثلث کوچک برابر است با $ \frac{1}{2} r \times r \times sin(\frac{2\pi }{n}) $
پس باید $ r $ را بیابیم اما از قانون کسینوسها داریم:
$$ S^{2} =r^{2}+r^{2} -2r \times r \times cos(\frac{2\pi }{n}) =2r^{2}(1- cos(\frac{2\pi }{n}) ) $$
با جایگذاری در مساحت ، مساحت هر مثلث کوچک برابر است با:
$$\frac{1}{4}S^{2} \frac{sin(\frac{2\pi }{n}) }{1- cos(\frac{2\pi }{n}) } $$
حال از دو فرمول مثلثاتی زیر کمک میگیریم:
$sin(2x)=2sin(x)cos(x) \Rightarrow sin(\frac{2\pi }{n}) =2sin(\frac{\pi }{n})cos(\frac{\pi }{n}) $
$1-cos(2x)=2 sin^{2}(x) \Rightarrow 1- cos(\frac{2\pi }{n})=2 sin^{2}(\frac{\pi }{n})$
که با جایگذاری مساحت هر مثلث کوچک برابر است با
$$\frac{1}{4}S^{2} \frac{cos(\frac{\pi }{n}) }{ sin(\frac{\pi }{n}) } = \frac{1}{4}S^{2} cot(\frac{\pi }{n}) $$
اما مساحت $ n $ ضلعی مساحت $ n $ تا مثلث کوچک است پس حکم ثابت شد.
