Question

در شکل زیر M,N,P,Q وسط اضلاع مربع ABCD میباشند. ثابت کنید چهار ضلعی 'A'B'C'D مربع است و طول ضلع آن برابر است با AP 2/5

Comments

@ft1376 به عنوان راهنمایی سه گوشه‌های AA'Q و ADP و DD'P متشابه هستند. از این نکته درازا (طول) یال (ضلع) چهاریالی (چهرضلعی) کوچک خواسته شده بدست می‌آید (توجه کنید که برای سه یال دیگر باید سه گوش های نظیرش را بردارید که با سه گوش های معرفی شده مان هم متشابه هستند). فرض را بر این گذاشتم که قائمه بودن زاویه ها را از قبل می‌دانید چگونه ثابت می‌شوند به خاطر چیزهایی که با مداد به شکل اضافه کردید.

Answer 1

بنام خدا.طبق شکل چهار مثلث ADP و DCN و CBM و BAQبه حالت دو ضلع وزاویه بین مساوی(هم نهشت) هستندبنابراین زوایای با شماره 1 مساوی و زوایای باشماره 2 نیز باهم مساویند. چون جمع زوایای1 و 2 مساوی 90 درجه است بنا براین تمام زوایای چهار ضلعی $ A' B' C' D' $مساوی 90 درجه خواهد بود. در مثلث$AA' B$ از نقطه M وسط ABپاره خط $M B' $ عمود بر$ A' B$رسم شده است طبق قضیه تالس اولا $ A' B' = B' B$ثانیاُ$M B' = \frac{1}{2} AA' $ بنابراین اگر$ A' B' =X$ در نظر بگیریم در مثلث قائم الزاویه $A A' B$ داریم $ AB^{2} = A A' ^{2} + A' B^{2} $ یعنی $ AB^{2} =5 x^{2} $ حال اگر این مقادیر رادر مثلث قائم الزاویه ADP قرار دهیم خواهیم داشت $5 x^{2} + ( \frac{ \sqrt{5 x^{2} } }{2}) ^{2} = AP^{2} $ بنابراین $ \frac{25}{4} x^{2} = AP^{2} $ در نتیجه $x= \frac{2}{5} AP$