برابریِ $10^{x+1}-5^{x+1}=75$ را با روش جبری حل کنید.

Question

معادلهٔ زیر را به روش جبری حل کنید.

$$10^{x+1}-5^{x+1}=75$$

بنده با استفاده از روش هندسی عدد ۱ را به عنوان ریشه بدست آوردم. اما من به دنبال حل این معادله به روش جبری هستم.

Answer 1

نمی‌دانم آیا این روش که حل می‌کنم آیا در استدلالم ایرادی هست یا خیر. @AmirHosein و @mdgi لطفا درباره این پاسخ نظر بدهید.

ابتدا عبارات را تفکیک می‌کنیم. داریم: $$ 10^x \cdot10-5^x\cdot5=75$$ حال از ۵ فاکتور میگیریم: $$5(10^x\cdot2-5^x)=15×5$$ ۵ را از دو طرف ساده می‌کنیم و دوباره عبارات را تفکیک می‌کنیم: $$10^x\cdot2-5^x=15$$ $$5^x(2^x\cdot2-1)=15$$ $$5^x(2^{x+1}-1)=5×3$$ حال در میابیم که$5^x$ برابر ۵ بوده و $2^{x+1}-1$ هم برابر ۳ بوده که یعنی: $$x=1$$

Comments

@sMs ایدهٔ خوبی است، تضمین نمی‌کند که این تنها پاسخ ممکن است ولی به هر حال یک پاسخ یافته‌است. بنابراین ارزش دارد.

---

جواب شما درست است ولی استدلال شما اثبات نمیکند که این معادله ریشه دیگری ندارد.

Answer 2

از تابع $f(y)=10^y-5^y-75$ مشتق میگیریم و مساوی صفر قرار میدیم: $$f'=10^yln10-5^yln5=0\to y_0=\log_2(\frac{\ln 5}{\ln 10})$$ چون مشتق دقیقا یک ریشه دارد پس تابع $f$ حداکثر دوتا ریشه دارد. وقتی $y>y_0$ مشتق مثبت است پس تابع $f$ اکیدا صعودی است و بنابراین فقط یک ریشه دارد:$2$. بدیهیست که وقتی $y$ منفی است مقدار $10^y-5^y$ منفی است پس $f$ در منفیها ریشه ندارد. بنابراین $f$ دقیقا یک ریشه دارد.

Comments

این نکته ایست که در درس آنالیز ثابت میشود: وقتی تابعی مانند $f$ در بازه ای مشتق پذیر باشد و تعداد ریشه های $f'$ مساوی $n$ باشد، تابع $f$ حداکثر $n+1$ ریشه دارد.

یک حالت خاص: وقتی تابعی مانند $f$ در بازه‌ای مشتق پذیر باشد و مشتق این تابع همواره مثبت باشد (درآن بازه) ، در این صورت تابع $f$ اکیدا صعودی است بنابراین تابع $f$ حداکثر یک ریشه دارد.

بانکته های فوق، همواره نمیتوان تعداد ریشه ها را بدست آورد فقط میتوان حداکثر ریشه ها را بدست اورد. مثلا در مورد معادله گفته شده، ابتدا برای راحتی کار تغیر متغیر میدهیم:$y=|x|$.  پس
$129y^2-258y+1=0$
چون تعداد ریشه های
$258y-258=0$
مساوی یک است، پس معادله فوق حداکثر دوریشه دارد(همان طور که میدانیم یک معادله درجه دوم همواره حداکثر دوریشه دارد). سپس با روش دلتا میفهمیم که هردوریشه مثبت است پس هر دوریشه قابل قبول است و بنابراین معادله
$129x^2-258|x|+1=0$
چهارجواب دارد

---

@mdgi
ممنونم استاد... این حل رو تازه دیدم.... واقعا لطف کردید.....بی نهایت سپاسگذار

---

خواهش میکنم

---

@shadow_ali به جای نوشتن کتبی تشکر می‌توانید امتیاز دهید. به دیدگاه‌ها نیز همانند پست‌های پرسش و پاسخ می‌توان امتیاز داد، کافی است بر ری سه‌گوش رو به بالای سمت راستش کلیک کنید. سپس دیدگاه تشکر کتبی را حذف کنید زیرا صفحه را اشغال می‌کند و مطلب علمی دیگر که در سایر دیدگاه‌ها آمده‌است را از دید خواننده دور می‌کند. موفق باشید.

---

@amir h
@mdgi
@AmirHosein
@sMs
@shadow_ali

با درود به همه اساتید محفل: اگر اشتباه نکنم بدلیل مشابهت توانها در سمت چپ معادله فوق، روش جایگزینی توان را هم بتوان امتحان کرد. اگر توان $x$ محدود به اعداد صحیح باشد، روشی که در بخش پاسخ آورده ام، آسانتر بنظر میرسد.

Answer 3

@amir h

با توجه به اینکه روش جایگزینی توان مورد استقبال قرار نگرفت، همین روش را بدون جایگزینی توان تصحیح میکنم. از اساتید محترم @AmirHosein و @mdgi برای صحت این استدلال تقاضای یاری دارم: اگر توان $x$ محدود به اعداد صحیح باشد، این روش آسانتر بنظر میرسد.

$1)10^{x+1}-5^{x+1}=75$

$2)(2^{x+1})(5^{x+1})-(5^{x+1})=25\times3$

با فاکتورگیری از $(5^{x+1})$ داریم:

$3)(5^{x+1})( 2^{x+1}-1)=25 \times 3$

با تقسیم دوطرف بر $25$ داریم:

$(5^{x-1})(2^{x+1}-1)=3$

کاهش دو واحدی توان $5$ بخاطر تقسیم بر$25$ است. حال براحتی قابل مشاهده است که $x$ فقط مقدار $1$ را میپذیرد.

Comments

@amir h با آرزوی موفقیت برایتان، همان روش را بدون جایگزینی توان تصحیح کردم. امیدوارم قابل استفاده باشد.

Answer 4

بیایید از اتحاد معروف چاغ و لاغر استفاده کنیم. پس:

$10^{x+1}-5^{x+1}=$$(10-5)(10^{x}+10^{x-1}5+...+5^{x})$=$75 \Longrightarrow 10^{x+1}-5^{x+1}=5(10^{x}+10^{x-1}5+...+5^{x})=5×15$

کاملاً واضح است که:

$(10^{x} +5×10^{x-1})+(10^{x-2}5+...+5^{x})=10+5$

واضح است که تساوی برای x=1 اتفاق می افتد.