برابریِ لگاریتمیِ $\log_2(x+3)+\log_2(x)=1$ را حل کنید.

Question

چگونه می‌توان معادلهٔ لگاریتمی $\log_2 (x+3)+\log_2 x=1$ را حل کرد؟

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Answer 1

سلام منظور حل معادلهٔ لگاریتمی زیر است که در آن مبنای تمام لگاریتم ها برابر 2 است.

$\log _{2}(x+3) + (\log _{2} x)=1$

برای حل ابتدا توجه داشته باشید اگر بین دو لگاریتم علامت + باشد فرمول زیر رو داریم

$\log a +\log b = \log ab$

لذا طرف چپ برابر $\log _{2} x(x+3)$ می‌شود. برای حل معادلات لگاریتمی معمولا در دوطرف تساوی کاری می‌کنیم که دو لگاریتم بماند حال در اینجا چون مبنای تمام لگاریتم‌ها 2 است با استفاده از نکتهٔ زیر بجای طرف راست می‌توانیم $\log _{2}2$ بنویسیم

لگاریتم هر عدد در مبنای خود عدد برابر یک است یعنی در اینجا داریم $1= \log _{2}2$

با جایگذاری به معادلهٔ $\log _{2}x(x+3)= \log _{2}2$ می‌رسیم چون مبنای همه 2 است لذا باید مقادیر جلوی لگاریتم با هم برابر باشند

اگر $\log a = \log b$ باشد آنگاه $a=b$ است.

یعنی $x(x+3)=2$ یا $x^{2} +3x=2$ و با حل معادله جواب بدست می‌آید. برای حل این معادله 2 را به طرف دیگر می‌آوریم و معادلهٔ در جه 2 $x^{2} +3x-2=0$ را حل می‌کنیم که جواب‌های $x= \frac{-3+ \sqrt{17} }{2}$ و $x= \frac{-3- \sqrt{17} }{2}$ بدست می‌آیند. اما طبق تعریف دامنه لگاریتم وقتی بجای $x$ مقدار قرار می‌دهیم نباید عبارت جلوی لگاریتم منفی شود پس جواب $x= \frac{-3- \sqrt{17} }{2}$ قابل قبول نیست.