برابریِ لگاریتمیِ $\log_2(x+3)+\log_2(x)=1$ را حل کنید.

Question

چگونه می‌توان معادلهٔ لگاریتمی $ \log_2 (x+3)+\log_2 x=1$ را حل کرد؟

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Answer 1

سلام منظور حل معادلهٔ لگاریتمی زیر است که در آن مبنای تمام لگاریتم ها برابر 2 است.

$ \log _{2}(x+3) + (\log _{2} x)=1$

برای حل ابتدا توجه داشته باشید اگر بین دو لگاریتم علامت + باشد فرمول زیر رو داریم

$ \log a +\log b = \log ab$

لذا طرف چپ برابر $ \log _{2} x(x+3) $ می‌شود. برای حل معادلات لگاریتمی معمولا در دوطرف تساوی کاری می‌کنیم که دو لگاریتم بماند حال در اینجا چون مبنای تمام لگاریتم‌ها 2 است با استفاده از نکتهٔ زیر بجای طرف راست می‌توانیم $ \log _{2}2 $ بنویسیم

لگاریتم هر عدد در مبنای خود عدد برابر یک است یعنی در اینجا داریم $1= \log _{2}2 $

با جایگذاری به معادلهٔ $ \log _{2}x(x+3)= \log _{2}2 $ می‌رسیم چون مبنای همه 2 است لذا باید مقادیر جلوی لگاریتم با هم برابر باشند

اگر $ \log a = \log b $ باشد آنگاه $ a=b $ است.

یعنی $ x(x+3)=2$ یا $ x^{2} +3x=2$ و با حل معادله جواب بدست می‌آید. برای حل این معادله 2 را به طرف دیگر می‌آوریم و معادلهٔ در جه 2 $ x^{2} +3x-2=0$ را حل می‌کنیم که جواب‌های $ x= \frac{-3+ \sqrt{17} }{2} $ و $ x= \frac{-3- \sqrt{17} }{2} $ بدست می‌آیند. اما طبق تعریف دامنه لگاریتم وقتی بجای $ x $ مقدار قرار می‌دهیم نباید عبارت جلوی لگاریتم منفی شود پس جواب $ x= \frac{-3- \sqrt{17} }{2} $ قابل قبول نیست.