مجموعهٔ اعداد طبیعی با فاصلههای یکسان را در نظر بگیرید، برای نمونه اعداد زوج یا فرد. فرمول جمع مربع های چند عضو نخست این مجموعه چیست؟

Question

فرمول مجموع مربعات $n$ عدد زوج یا فرد متوالی چه می‌شود؟ یا در حالت کلی جمع مربعات عددهای طبیعی با فاصله منظم؟ متشکرم و چگونگی ثابت کردن فرمول را توضیح دهید.

Comments

داریم
$1^2+2^2+3^2+\ldots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
پس
$2^2+4^2+6^2+\ldots +(2n)^2=2^2(1^2+2^2+3^2+\ldots +n^2)=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$
بنابراین
$1^2+3^2+5^2+\ldots +(2n-1)^2=\frac{(2n)(2n+1)(4n+1)}{6}-\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}$
فرمول اول را با استقرا میشه ثابت کرد.

Answer 1

این مسئله را به دو نوع دیگر هم میتوان دید که دو جواب متفاوت دارد.

۱ ) مجموع مربعات ضرایب یک عدد دلخواه مانند $a$ تا $k$ جمله که جواب بشکل زیر در میاد:

$(1a)^{2}+(2a)^{2}+(3a)^{2}+ .....+(ka)^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1) a^{2} }{6} $

۲) مجموع مربعات (جمع عدد دلخواه $a$ با ضرایب عدد دلخواه دیگری مانند $b$) تا $k+1$ جمله که جواب بشکل زیر در میاد:

$(a+0b)^{2}+(a+1b)^{2}+(a+2b)^{2}+(a+3b)^{2}+.....+(a+kb)^{2}=\frac{(k+1)(6a^{2}+6abk+kb^{2}+2(bk)^{2})}{6}$

دوستان توجه داشته باشند که در حالت دوم بدلیل اینکه اولین ضریب $k$ با صفر شروع میشود، سمت چپ تساوی، $k+1$ جمله دارد ولی تأثیری بر نتیجه ندارد.

اینو از کتابی یادداشت کردم که در اسباب کشی از دست رفت و اثباتش رو ندارم.

Comments

@ناصرـآهنگرپور نیازی نیست دنبال اثباتش در کتاب مذکور بگردید، چون اگر نمونه‌های مشابه که تمرین‌های جبر و احتمال سوم دبیرستان بودند را قبلا دیده‌باشید باید خیلی سریع متوجه شوید که با یک استقرای ریاضی درستی آن را می‌توان بررسی کرد.