منحنی اکسترمال را برای مساله زیر بیابید.

Question

$$ \int_0^ \frac{ \pi }{2}(x^2- \dot{x}^2-2x\ sin\ t)\ dt $$

با فرض$=x(0)=1$ و $x( \frac{ \pi }{2})=2 $

که $ \dot{x} $ مشتق $x$ نسبت به $t$ می باشد.

Comments

@wahedmohammadi
من یک سوال مشابه این با جوابش پیدا کردم:
<math>$$J[x]= \int_1^2  \dot{x}^2t^3\ dt  $$</math>

که <math>$x(1)=0 $</math> و<math>$x(2)=3$</math>

داریم $t_0=1$ و$t_1=2 $و$ f(t,x, \dot{x})= \dot{x}^2t^2$

برای حل از معادله اویلر-لاگرانژ استفاده میکنیم که برابر است با:
<math>$$  \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dt}( \frac{\partial f}{\partial \dot{x}})=0   $$</math>

که برای این مساله عبارت است از :

<math>$$0- \frac{d}{dt}(2 \dot{x}t^3)=0 $$</math>

که نتیجه میدهد, $ \dot{x}t^3=c$(عدد ثابت).با انتگرال گیری داریم:

<math>$$x= \frac{k}{t^2}+l $$</math>(که$k$ و $l$ اعداد ثابتند)

اگر شرط انتهایی را بکار ببریم داریم $l=-k=4$ بنابرایم منحنی اکسترمال عبارت است از

<math>$$x=4- \frac{4}{t^2} $$</math>

---

به نظر سوال سختی نیست و بیشتر حل معادلات دیفرانسیل هستش ولی زیاد نمیتونم با مفهوم سوال ارتباط برقرار کنم!!!

---

@رها
ینی الان $x$ اکسترمال این مسئله است؟

---

بله اینطور به نظر میرسه.توو کتاب هم این مثال رو پیدا کردم ولی همونطور که عرض کردم به نظر سوال سختی نیست و بیشتر حل معادلات دیفرانسیله(که البته من حل معادله ای که از سوالی که طرح کردم بدست میاد رو بخاطر ندارم) ولی کلا چراییه اینکه به این روند بیش میریم رو هم درک نمیکنم!!!

---

اگه طبق این مثال پیش بریم با توجه به فرمول اویلر-لاگرانژ یک معادله بدست میاد.اگه برای شما یا هذکدوم از دوستان مقدوره,ممنون میشم طریقه ی حلش رو بفرمایید.

Answer 1

$$J[x]= \int_0^{\pi \over 2} (x^2 -\dot{x}^2 -2xsin(t))\ dt $$

که $x(0)=1 $ و$x( {\pi \over 2 })=2$ و هم‌چنین داریم $t_0=1$ ،$t_1={\pi \over 2 } $و$ f(t,x, \dot{x})= x^2 -\dot{x}^2 -2xsin(t)$

برای حل از معادله اویلر-لاگرانژ استفاده میک‌نیم که برابر است با: $$ \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dt}( \frac{\partial f}{\partial \dot{x}})=0 $$

که با اعمال این معادله روی این مسئله به معادله دیفرانسیل زیر می‌رسیم:

$$(2x-2sin(t))-\frac{d}{dt}(2 \dot{x})=0 \Rightarrow 2x-2sin(t)-(-2{\ddot{x} })=0$$

$ \Rightarrow {\ddot{x} } +x=sin(t) \quad \qquad \qquad (*) $

برای حل معادله بالا ابتدا معادله مفسر را تشکیل می‌دهیم که به صورت $q^2+1=0$ می‌باشد که ریشه‌های آن برابر $+i$ و $-i$ هستند.

بنابر این جواب عمومی آن برابر $x_{h}=c_1e^{it }+c_2e^{-it}$ است. حال با توجه به طرف راست معادله می‌دانیم که جواب خصوصی آن به صورت $x{_p = Asin(t)}$ می‌باشد که باید با جایگذاری در $ (*) $ ، $A$ را پیدا کنیم

$ {\ddot{x} }=-Asin(t) \Rightarrow {\ddot{x} } +x=(-A+1)sin(t)=0 \Rightarrow x_{_p }= sin(t) $

پس منحنی اکسترمال که همان جواب معادله بالا ااست برابر است با $ x= x_{_h} + x_p $ ؛ که با اعمال شرایط مرزی $x(0)=1 $ و$x( {\pi \over 2 })=2$ ، ضرایب $c_1$ و $c_2$ را به صورت زیر محاسبه می‌کنیم :

$$\begin{cases}x(0)=1 \Rightarrow c_1+c_2=1\\ x( {\pi \over 2 })=2 \Rightarrow c_1e^{i{\pi \over 2 }}+c_2e^{-i{\pi \over 2 }} =3 \Rightarrow ic_1-ic_2=3\end{cases}$$

$c_1=1-c_2$ و $c_2= \frac{3i+1}{2}$

Comments

@wahedmohammadi
اگه معادلمون به شکل $sint={\ddot{x} }$ بشه بازم حلش به اینصورته یا حالت خاصی داره؟

---

@رها
خب در این حالت جواب خصوصی فرق نداره یعنی همان $x_p=Asin(t)$ را جایگذاری می‌کنیم ولی در جواب عمومی میدونیم که معادله مفسر به صورت $q^2=0$ می‌باشد که چون ریشه مضاعف دارد باید جواب عمومی آن را به شکل زیر به دست آورد:
اگر دارای ریشه مضاعف $q=s$ باشد آن‌گاه یک جواب معادله به صورت $x_1=e^{st}$ و جواب دیگر به صورت $y_2=u(t)e^{st}$ می‌باشد که باجایگذاری در معادله همگن مسئله; $u(t)$ را پیدا می‌کنیم و جواب عمومی به صورت $x_h=c_1x_1+c_2x_2$ هستش.

---

ببخشید من کلا اینا رو فراموش کردم ببخشید که با سوالام اذیتتون میکنم.$u(t)$چی هست؟لطف میکنید برای همین حالت $x_h$رو بنویسید؟

---

@رها
خواهش می‌کنم
اگر قرار دهیم $   \ddot{x}=0$ آنگاه جواب عمومی به صورت $x_h=c_1x_1+c_2x_2$ می‌باشد که در آن $x_1=e^{0 \times t}$ و $x_2=u(t)e^{0 \times t} = u$ می‌باشد که با جایگذاری در  معادله $   \ddot{x}=0$ به معادله $   \ddot{u}=0$ که با دو بار انتگرال گیری نسبت به $t$ به جواب $u(t)=at+b$ می‌رسیم که با جایگذاری در $x_h$ داریم

$x_h =c'_1t +c'_2$ که با اعمال شرایط مرزی $c'_1$ و $c'_2$ را محاسبه و باز مثل سوال قبل عمل می‌کنیم

---

خیلی خیلی سپاسگزارم