Question

اکسترمال تابع $\int_0^1 ( \frac{1}{2} \dot{x}^2+x \dot{x}+x+ \dot{x})dt$ را بدست آورید هرگاه:

$x(0)$ و $x(1)$ هر دو آزاد باشند.

توجه داشته باشید که $\dot{x}$ مشتق $x$ نسبت به $t$ می باشد.

Answer 1

$$J[x]= \int_0^1 ( \frac{1}{2} \dot{x}^2+x \dot{x}+x+ \dot{x})dt$$

که $x(0)$ و$x(1)$ آزاد هستند و هم‌چنین داریم

$t_0=0$ ،$t_1=1$و$f(t,x, \dot{x})= \frac{1}{2} \dot{x}^2+x \dot{x}+x+ \dot{x}$

برای حل از معادله اویلر-لاگرانژ استفاده می‌کنیم که برابر است با: $$\frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dt}( \frac{\partial f}{\partial \dot{x}})=0$$

که با اعمال این معادله روی این مسئله به معادله دیفرانسیل زیر می‌رسیم:

$\dot{x}+1-\frac{d}{dt}(\dot{x}+x+1) =\dot{x}+1-\ddot{x}-\dot{x}=-\ddot{x}+1=0 \\ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \Rightarrow \ddot{x}-1=0 \quad (*)$

جواب این معادله به صورت $x=x_h+x_p$ می باشد که در آن $x_p$ جواب خصوصی و $x_h$ جواب عمومی معادله بالا هستند. برای یافتن جواب عمومی معادله بالا ابتدا معادله مفسر را تشکیل می‌دهیم که به صورت$q^2=0$ می‌باشد که چون ریشه مضاعف دارد باید جواب عمومی آن را به شکل زیر به دست آورد: اگر دارای ریشه مضاعف $q=s$ باشد آن‌گاه یک جواب معادله به صورت $x_1=e^{st}$ و جواب دیگر به صورت $x_2=u(t)e^{st}$ می‌باشد که باجایگذاری در معادله همگن مسئله; $u(t)$ را پیدا می‌کنیم و جواب عمومی به صورت $x_h=c_1x_1+c_2x_2$ هستش. که در توضیحات مسئله (منحنی اکسترمال را برای مساله زیر بیابید.) ثابت کردیم که $x_h=c′_1t+c′_2$ می‌باشد.

برای یافتن جواب خصوصی کافی است دو بار از طرفین نسبت به $t$ انتگرال بگیریم و داریم:

$\int \ddot{x}dt=\int 1dt \Rightarrow \dot{x}=t +b_1 \Rightarrow \dot{x}dt=\int tdt \Rightarrow x_h= \frac{t^2}{2} +b_1t+b_2$

که با جایگذاری و ساده کردن، جواب عمومی که همان اکسترمال تابع مسئله است به صورت زیر به دست می‌آید:

$x(t)=t^2+ct+d \qquad \qquad \qquad \qquad$

که در آن $c$ و $d$ ثابت‌های دلخواهی هستند ؛ پس باا ین وجود ما مجموعه اکسترمال‌هایی داریم،

Comments

@wahedmohammadi
ممنون از پاسختون.پس یعنی آزاد بودن مقادیر ابتدا و انتهای $x$ فقط باعث میشه که ما بجای یک منحنی مشخص,دسته ای از منحنی ها رو داشته باشیم و تاثیری در روند حل مساله نداره.

---

@رها
بله دقیقا،اگر به روند حل این جور مسائل توجه کنیم می‌بینیم که این شرط های مرزی فقط در حل معادله مفسر و تعیین ضرایب ثابت تاثیر دارن.