Question

چرا تعداد حالت های پخش کردن $n$ شی بین $k$ نفر برابر به شرطی که هر فردی دست کم یک شی بگیرد برابر با $\binom{n-1}{k-1}$ می شود؟

تلاش من: می‌دانیم که اگر مجموعه‌ای دارای $n$ عضو باشد و اگر یک عضو آن به مجموعه دیگر برود اعضای آن مجموعه برابر است با $n-1$. حال تعداد جایگشت آن می شود $(n-1)!$. حال چونکه در این حالت ترتیب مهم نیست و از طرفی هر مجموعه با $k$ مجموعه دیگر در ارتباط است پس $(k-1)!$ باید از کل حالات ما کم شود و آن تعداد $n-1$ دیگر باید به خودش یکی اضافه شده و از $k$ تعداد مجموعه های دیگر نیز کم شود که میشود $(n-k)!$. آیا اثباتم درست است؟

Comments

@alirezakhalili چیزی که نوشتید به نظرم اصلا شبیه اثبات نیست. برای نمونه یکی از چندین چیزی که متن‌تان را از معنی می‌اندازد، قضیهٔ مجموعه‌ها در متنی که نوشتید چیست؟ مگر $n$ شی را بین $k$ نفر پخش نمی‌کنید؟ پس مثلا جملهٔ «هر مجموعه با $k$ مجموعهٔ دیگر در ارتباط است» و موارد دیگر در متن‌تان یعنی چی؟
بعلاوه به ویرایشی که روی عنوان و متن پرسش‌تان انجام دادم دقت کنید. برای نمونه، فرض نکنید چیزی که در عنوان نوشتید را دیگر قرار نیست در متن بنویسید! متن پرسش باید کامل باشد.

Answer 1

این فرمولی که می‌گویید حل معادله زیر در مجموعه اعداد طبیعی می‌باشد:

$$x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{k}=n$$

که تعداد جوابش می‌شود $\binom{n-1}{k-1}$.

اثبات: با روش توپ و دیوار اثبات می‌کنیم. فرض کنید که ما $n$ توپ داریم. ما باید بین هر دو توپ یک فضای خالی موجود است. که تعدادشان می‌شود $n-1$. ما باید $k-1$ خط را طوری بینشان قرار دهیم که سمت چپ و سمت راست دیوار حداقل یک توپ باشد. پس پاسخ می‌شود:$\binom{n-1}{k-1}$.