آیا می توان گفت که $0!=1$ یک تعریف یا قرارداد است؟

Question

همانطور که می‌دانید $0!$ برابر با $1$ است.

آیا می‌توان گفت که $0!=1$، یک تعریف یا قرارداد است؟

و اگر یک تعریف یا قرارداد نیست چگونه می‌توان آن را اثبات کرد؟

Answer 1

در کتاب ریاضی (۱) پایهٔ دهم مدرسه (همان دوم دبیرستان) نظری ریاضی-فیزیک فصل ۶ درس ۲ صفحهٔ ۱۲۸ در زیر تعریف نماد فاکتوریل برای عددهای طبیعی، نوشته شده‌است:

قرارداد: $0!=1$.

در کتاب «آنالیز ترکیبی المپیاد» نوشتهٔ علیرضا علیپور چاپ نشر الگو گفته شده است که یک تعریف است.

Answer 2

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

در این ترکیب برای اینکه برای $k$ مساوی $n$ و 0 معنی داشته باشه و با مفهوم ترکیب هماهنگ باشه، باید $0!$ که در مخرج کسر ایجاد می‌شود را مساوی یک بگیرند. برای همین یک قرار داد می‌باشد.

Answer 3

در حقیقت فاکتوریل حالت خاصی از تابع گاما است بطوریکه : $\forall x\in N \Rightarrow \Gamma (x)=(x-1)!$ تابع گاما را به شکل زیر تعریف می کنند: $\Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} x^{z-1}e^{-x}dx$ با تعریف بالا اگر حساب کنید $\Gamma(0)$ را حاصل ۱ بدست می آید.با این تابع می توانید معادل فاکتوریل برای اعداد گویا و ... را نیز حساب کنید.

Comments

@iv ولی حواستان باشد که فاکتوریل پیش از تعریف‌شدن تابع گاما وجود داشته و تعریف شده‌بوده‌است. پس اینطور نیست که واقعا فاکتوریل حالت خاصی از تابع گاما باشد، بلکه این دو مستقل هستند و برابر شدن آنها بر روی اعداد طبیعی (با ارفاق یک واحد جابجایی) یک نتیجه از تعریف‌های آن دو است. یعنی تعریف این دو از یکدیگر مستقل هستند و این برابری نتیجه‌ای از آن دو تعریف است نه برعکس آن. یعنی تعریف فاکتوریل از روی تابع گاما انجام نشده‌است. توجیهی که می‌خواهید بکنید بیانِ درستش این است. «چون حاصل تابع گاما بر روی اعداد طبیعی بزرگتر از یک برابر با فاکتوریل یک واحد کمترشان می‌شود، پس تابع فاکتوریل که دامنه‌اش اعداد طبیعی است را می‌توان تحدید‌شده‌ای از تابع گاما بر روی اعداد طبیعیِ بزرگتر یا مساوی ۲ دید، پس تابع گاما یک توسیع تابع فاکتوریل به اعداد حقیقی منهای اعداد صحیح نامثبت است. اکنون این توسیع در عدد ۱ برابر با ۱ می‌شود پس بیایید صفر فاکتوریل را ۱ قرارداد کنیم.» که این یک توجیه است ولی دلیل اصلی تعریف کردنِ $0!=1$ نیست.

---

@Am.s همانطور که در دیدگاه گفتم دلیل اصلیِ این قرارداد توجیه تابع گامایی نیست، لذا این پاسخ را از حالت برگزیده درآوردم. ولی یک نوع توجیه نه چندان بدی است لذا +۱

---

@AmirHosein پس دلیل اصلی تعریف کردنِ $0!=1$ چیست؟

---

@A-math-lover توجیه و علتِ تعریف کردن یک چیزی، با اثباتِ چیزی به عنوان یک نتیجه، فرق دارد. فرقِ تعریف با نتیجه این است که تعریف را شما انجام می‌دهید ولی نتیجه بوسیلهٔ روابط منطقی از چیزهایی که قبلا تعریف کردید یا ثابت‌شده‌اند خود به خود داده می‌شود. این پست می‌پرسد «آیا این یک تعریف است یا نتیجه، اگر نتیجه است آن را ثابت کنید» که پاسخ «تعریف» است. اگر انگیزهٔ تعریف را می‌خواهید یک پست پرسش جدید ایجاد کنید.