@iv ولی حواستان باشد که فاکتوریل پیش از تعریفشدن تابع گاما وجود داشته و تعریف شدهبودهاست. پس اینطور نیست که واقعا فاکتوریل حالت خاصی از تابع گاما باشد، بلکه این دو مستقل هستند و برابر شدن آنها بر روی اعداد طبیعی (با ارفاق یک واحد جابجایی) یک نتیجه از تعریفهای آن دو است. یعنی تعریف این دو از یکدیگر مستقل هستند و این برابری نتیجهای از آن دو تعریف است نه برعکس آن. یعنی تعریف فاکتوریل از روی تابع گاما انجام نشدهاست. توجیهی که میخواهید بکنید بیانِ درستش این است. «چون حاصل تابع گاما بر روی اعداد طبیعی بزرگتر از یک برابر با فاکتوریل یک واحد کمترشان میشود، پس تابع فاکتوریل که دامنهاش اعداد طبیعی است را میتوان تحدیدشدهای از تابع گاما بر روی اعداد طبیعیِ بزرگتر یا مساوی ۲ دید، پس تابع گاما یک توسیع تابع فاکتوریل به اعداد حقیقی منهای اعداد صحیح نامثبت است. اکنون این توسیع در عدد ۱ برابر با ۱ میشود پس بیایید صفر فاکتوریل را ۱ قرارداد کنیم.» که این یک توجیه است ولی دلیل اصلی تعریف کردنِ $0!=1$ نیست.
