فرض کنید $A_{n}$ زیرگروه متناوب $S_{n}$ یعنی زیرگروه شامل تمام جایگشت های زوج در $S_{n}$ است . فرض کنید $G \leq S_{n}$ پس $G \bigcap A_{n} \leq S_{n}$ . فرض کنید $G$ شامل حداقل یک جایگشت فرد است . هر همدست چپ $G \bigcap A_{n}$ در $G$ به صورت $ \alpha (G \bigcap A_{n})$ است که $ \alpha $ جایگشتی متعلق به $G$ است . حال دو حالت داریم :
حالت اول : $ \alpha $ جایگشتی زوج باشد (توجه کنیم چنین جایگشتی در $G$ وجود دارد زیرا $G$ زیرگروه $S_{n}$ است پس عنصر همانی $S_{n}$ یعنی $e$ متعلق به $G$ است و می داینم $e$ جایگشت زوج است) .در این صورت $ \alpha \in A_{n}$ و از آنجا که $ \alpha \in G$ پس $ \alpha \in G \bigcap A_{n}$ در نتیجه $ \alpha (G \bigcap A_{n})=G \bigcap A_{n}$ . پس در حالت اول فقط یک همدست چپ بدست می آید و آن $G \bigcap A_{n}$ است .
حالت دوم : $ \alpha $ جایگشتی فرد باشد ( طبق فرض $G$ حداقل یک جایگشت فرد دارد ) . فرض کنید $ \beta $ جایگشت فرد دیگری در $G$ است . پس $ \beta ^{-1} $ جایگشتی فرد است و از آنجا که حاصل ضرب دو جایگشت فرد جایگشتی زوج می شود پس $\beta ^{-1} \alpha $ جایگشت زوج است پس $\beta ^{-1} \alpha \in A_{n}$ . از طرفی $\beta ^{-1} \alpha \in G$ در نتیجه $\beta ^{-1} \alpha \in G \bigcap A_{n}$ بنابراین $ \alpha (G \bigcap A_{n})= \beta (G \bigcap A_{n})$ . پس در حالت دوم نیز فقط یک همدست چپ بدست می آید و آن $ \alpha (G \bigcap A_{n})$ است که $ \alpha $ جایگشت فرد دلخواهی در $G$ است .
پس تعداد همدست های چپ $G \bigcap A_{n}$ در $G$ برابر $2$ است یعنی شاخص $G \bigcap A_{n}$ در $G$ برابر $2$ است . پس $[G:G \bigcap A_{n}]= \frac{ \mid G \mid }{ \mid G \bigcap A_{n} \mid } =2$ . در نتیجه $\mid G \mid=2 \mid G \bigcap A_{n} \mid$ . و این یعنی تعداد جایگشت های زوج در $G$ دقیقا نصف تعداد جایگشت های $G$ است .
