به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
381 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط MK90
ویرایش شده توسط MK90

اگر H یک گروه جایگشتی روی مجموعه متناهی X و K یک گروه جایگشتی روی مجموعه متناهی Y باشد نشان دهید کاردینال $H \int K$ برابر $ |H|^{|Y|}|K| $ است.( $ \int $بیانگر حاصلضرب حلقوی است)

دارای دیدگاه توسط MK90
+1
لطفا راهنمایی کنید
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
سلام. من نمی‌دانم منظورتان از ضرب حلقوی دقیقا چه است. اگر تعریف ضرب حلقوی را بدهید برایتان بررسی می‌کنم. تنها یک جا یک تعریف برای ضرب حلقوی گروه‌ها در جستجو یافتم که اشتباه است و معلوم نیست کدام داورهایی این پایان‌نامه را داوری کرده‌اند!!! تعریف ۲۲.۱.۱ صفحهٔ ۴ این پایان‌نامه را نگاه کنید. http://idochp2.irandoc.ac.ir/FulltextManager/fulltext15/th/226/226121.pdf
معلوم نیست K چه هست و G برای چه آمده‌است.
تخصص من نظریهٔ گروه‌ها نیست ولی به نظر من با داشتن تعریف ضرب حلقوی به راحتی بررسی می‌شود. در ضمن این «حلقوی» هم‌ارز برای چه واژهٔ انگلیسی‌ای بوده‌است؟
دارای دیدگاه توسط MK90
+1
@AmirHosein
صفحه 32 از کتاب A Course In The Theory Of Groups از
Derek J.S. Robinson
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+2
بسیار خوب شد که مرجع دادید و واژهٔ انگلیسی آن‌را نیز اشاره کردید. من زمانی‌که «ضرب حلقوی» دیدم به cyclic product و یا حتی convolution فکر کردم ولی wreath product را «ضرب تافته» بهتر می‌پسندم، هر چند که تصمیم‌گیری با انجمن ریاضی ایران است و نه پسند من.
نکتهٔ تمرین یک صفحهٔ ۴۲ این است که بحث آورده شده در صفحه‌های ۳۲ و ۳۳ را متوجه شده باشید و توانسته باشید متن نویسنده را جلو بروید و با حاصلضرب مستقیم و حاصلجمع مستقیم گروه‌ها آشنایی داشته باشید که در بخش‌های پیش‌تر این کتاب نویسنده به آنها پرداخته است.
دارای دیدگاه توسط AmirHosein
+1
در ضمن یادم رفت بگویم، برای ضرب تافته در TeX از نماد wr\ استفاده می‌شود. با نماد انتگرال تفاوت دارد و با نماد کتاب آقای Robinson نیز فرق دارد ولی قرارداد پذیرفته‌شدهٔ کنونی است.

1 پاسخ

+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط AmirHosein
انتخاب شده توسط MK90
 
بهترین پاسخ

در صفحهٔ ۳۳ پس از رابطهٔ (۱) اشاره شده‌است که $B=\prod_{y\in Y}H(y)$ جمع مستقیم $H(y)$ ها بوسیلهٔ آنها تولید می‌شود و دو خط پیش از آن گفته شده است که اشتراک دو به دوی آنها تک‌عضوی همانی است (یعنی جایگشت همانی روی $X\times Y$ همانی گروه جایگشت‌های روی این مجموعه و در نتیجه همانی زیرگروه‌هایش از جمله حاصلضرب مستقیم $H(y)$ ها یعنی $B$) پس $|B|=\prod_{y\in Y}|H(y)|$ از طرفی بنا به تعریف $H(y)$ها برای هر $y\in Y$ داریم $H(y)\cong H$ پس $|H(y)|=|H|$ و در نتیجه $|B|=\prod_{y\in Y}|H|=|H|^{|Y|}$.

از طرف دیگر در همان صفحهٔ ۳۳ پیش از رابطهٔ (۱) اشاره شده‌است که $$H\wr K=\langle H(y),K^\star\,|\,y\in Y\rangle$$ یعنی ضرب تافتهٔ $H\wr K$ زیرگروه تولید شده بوسیلهٔ $H(y)$ها و $K^\star$ از گروه جایگشت‌های روی $X\times Y$ است. اما این برابر با زیرگروه تولید شده بوسیلهٔ زیرگروه تولیدشده بوسیلهٔ $H(y)$ها که یکریخت با $B$ است و $K^\star$ می‌شود. دوباره توجه کنید که در همان پیش از گزارهٔ ۱.۶.۴ اشاره شده‌است که اشتراک $B$ (با نادید گرفتن یکریختی زیرگروه تولید شده بوسیلهٔ $H(y)$ها را که با $B$ یکریخت است دوباره با $B$ نمایش داده‌ایم) و $K^\star$ تک‌عضوی همانی است پس دوباره داریم که زیرگروه تولید شده بوسیلهٔ این دو که اکنون جمع مستقیم است با حاصلضرب مستقیمشان یکریخت و در نتیجه؛ $$|H\wr K|=|B\times K^\star|=|B|\times|K^\star|$$ اما با توجه به تعریف $K^\star$ داریم $K^\star\cong K$ پس؛ $$|B|\times|K^\star|=|H|^{|Y|}\times|K|$$ پس همواره برای دو زیرگروه از گروه‌ متقارن مربوط به دو مجموعهٔ متناهی $X$ و $Y$، به ترتیب $H$ و $K$ داریم؛ $$|H\wr K|=|H|^{|Y|}|K|$$

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...