در صفحهٔ ۳۳ پس از رابطهٔ (۱) اشاره شدهاست که $B=\prod_{y\in Y}H(y)$ جمع مستقیم $H(y)$ ها بوسیلهٔ آنها تولید میشود و دو خط پیش از آن گفته شده است که اشتراک دو به دوی آنها تکعضوی همانی است (یعنی جایگشت همانی روی $X\times Y$ همانی گروه جایگشتهای روی این مجموعه و در نتیجه همانی زیرگروههایش از جمله حاصلضرب مستقیم $H(y)$ ها یعنی $B$) پس $|B|=\prod_{y\in Y}|H(y)|$ از طرفی بنا به تعریف $H(y)$ها برای هر $y\in Y$ داریم $H(y)\cong H$ پس $|H(y)|=|H|$ و در نتیجه $|B|=\prod_{y\in Y}|H|=|H|^{|Y|}$.
از طرف دیگر در همان صفحهٔ ۳۳ پیش از رابطهٔ (۱) اشاره شدهاست که
$$H\wr K=\langle H(y),K^\star\,|\,y\in Y\rangle$$
یعنی ضرب تافتهٔ $H\wr K$ زیرگروه تولید شده بوسیلهٔ $H(y)$ها و $K^\star$ از گروه جایگشتهای روی $X\times Y$ است. اما این برابر با زیرگروه تولید شده بوسیلهٔ زیرگروه تولیدشده بوسیلهٔ $H(y)$ها که یکریخت با $B$ است و $K^\star$ میشود. دوباره توجه کنید که در همان پیش از گزارهٔ ۱.۶.۴ اشاره شدهاست که اشتراک $B$ (با نادید گرفتن یکریختی زیرگروه تولید شده بوسیلهٔ $H(y)$ها را که با $B$ یکریخت است دوباره با $B$ نمایش دادهایم) و $K^\star$ تکعضوی همانی است پس دوباره داریم که زیرگروه تولید شده بوسیلهٔ این دو که اکنون جمع مستقیم است با حاصلضرب مستقیمشان یکریخت و در نتیجه؛
$$|H\wr K|=|B\times K^\star|=|B|\times|K^\star|$$
اما با توجه به تعریف $K^\star$ داریم $K^\star\cong K$ پس؛
$$|B|\times|K^\star|=|H|^{|Y|}\times|K|$$
پس همواره برای دو زیرگروه از گروه متقارن مربوط به دو مجموعهٔ متناهی $X$ و $Y$، به ترتیب $H$ و $K$ داریم؛
$$|H\wr K|=|H|^{|Y|}|K|$$
