به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–2 امتیاز
347 بازدید
در دبیرستان توسط pantea (10 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

فرض کنید $X$ مجموعه‌ای $n$ عضوی باشد. تعداد زوج مرتب‌های $(A,B)$ را بیابید که $ A, B\subseteq X$ و همچنین $ A \subset B$. پاسخ باید $3^n - 2^n $ باشد. این پرسش را در یکی از آزمون‌های المپیاد ریاضی سال ۱۳۷۱ دیده‌ام.

توسط shadow_ali (283 امتیاز)
+1
سلام. لطفا برای نوشتن صورت سوال. مسئله سوال رو در بین دو دلار قرار بدید.
@pantea
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+1
@pantea می‌دانید چند المپیاد ریاضی در سال ۱۳۷۱ برگزار شده‌است؟ مرجع باید به طور یکتا مشخص شود، این المپیاد برای چه مقطعی بوده‌است؟ در چه مرحله‌ای بوده‌است؟ کدام کشور؟ برای نمونه راهنمایی، دبیرستان، کارشناسی، مرحلهٔ گزینش مدرسهٔ فلان، ناحیه فلان در شهر فلان، استان فلان، مرحلهٔ کشوری، مرحلهٔ بین‌المللی.
بعلاوه عنوان پرسش‌تان به نظر خودتان مناسب است؟ پست زیر را بخوانید و سپس پرسش‌تان را ویرایش کنید. https://math.irancircle.com/11973 در مورد تایپ ریاضی نیز پست‌های زیر را نگاه بیندازید. https://math.irancircle.com/52 و https://math.irancircle.com/56

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

به نام خدا.

فرض کنید که B یک زیرمجموعه $ k $ عضوی از مجموعه ی $n$ عضوی $X$ باشد. در این صورت مجموعه $A$ دارای $2^k−1$ حالت است. علت $-1$ برای این است که نباید $A=B$ باشد. پس تعداد زوج $(A,B)$ که $B \subseteq X$ و $A \subset B$ و $B$ مجموعه $k$ عضوی است، برابر است با:

$ \binom{n}{k} ×(2^k−1)$

علت $\binom{n}{k} $ برای این است که تعداد حالت هایی که B مجموعه ایk عضوی است برابر است با $\binom{n}{k}$ .

حال $k$ می تواند برابر با $0$,$ 1$,...,یا $n$ باشد. پس پاسخ سوال می شود:

$\binom{n}{0} (2^0-1)+ \binom{n}{1} (2-1)+...+ \binom{n}{n} (2^n-1)= \binom{n}{0}2^0 +..+ \binom{n}{n} 2^n-( \binom{n}{0} +...+ \binom{n}{n} )=(2+1)^n-(1+1)^n=3^n-2^n$

0 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده (3,100 امتیاز)

صورت سوال این است :

(( فرض کنید $X$ یک مجموعه $n$ عضوی است . تعداد زوج های مرتب $(A,B)$ به طوری که $A,B \subseteq X$ و $A \subset B$ برابر است با $ 3^{n} - 2^{n} $ . ))

اثبات :

به هر زوج $(A,B)$ از زیر مجموعه های $X$ که $A \subseteq B$ می توان یک کد $n$ رقمی همچون $ a_{1} a_{2} a_{3} \ ... \ a_{n} $ متشکل از ارقام $0,1,2$ نسبت داد که به ازای هر $i=1,2,3 $ داریم :

$$ a_{i} =\begin{cases}0 & i \in A\1 & i \in B-A\2 & i \in X-B\end{cases} $$

و بعکس به هر کدی به این شکل می توان یک زوج مرتب $(A,B)$ از زیرمجموعه های $X$ را نسبت داد که $A \subseteq B$ . پس تعداد این زوج های مرتب برابر تعداد کدهای $n$ رقمی با ارقام $0,1,2$ است که برابر $ 3^{n} $ است .

از طرفی تعداد زوج های $(A,B)$ که $A,B \subseteq X$ و $A=B$ برابر $ 2^{n} $ است . زیرا مجموعه $X$ دارای $ 2^{n} $ زیرمجموعه است . در نتیجه تعداد زوج های مرتب $(A,B)$ که $A,B \subseteq X$ و $A \subset B$ برابر $ 3^{n} - 2^{n} $ است .


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...