اولین مضرب ۵ که در روش غربال ارتستن خط می خورد چیست؟

Question

در درس ریاضی پایهٔ هشتم پرسش زیر به ما داده شده‌است.

اولین مضرب ۵ که در روش غربال خط می‌خورد چیست؟

تلاش خودم:‌ روش غربال: یک نوع روش برای جدا کردن اعداد اول و اعداد مرکب که اعداد اول را مینویسیم و مضرب های آنها را خط می‌زنیم.

Comments

10، چون اول از مضارب 2 شروع به خط زدن می‌کنیم.

Answer 1

پاسخ شما وابسته به این است که در حال استفاده از غربال اراتُستِن برای یافتنِ عددهای اول در چه مجموعه‌ای هستید. توجه کنید که غربال اراتستن بر روی بینهایت عدد (کلِ $\mathbb{N}$) پیاده نمی‌شود، چون در این صورت در تعداد متناهی گام مضرب‌های ۲ هم تمام نمی‌شوند چه برسد به سایر عددها پس برای نمونه ۹ هرگز خط نخواهد خورد! کاری که با این الگوریتم می‌کنید این است که یک عدد طبیعی مانند $N$ را ثابت می‌گیرید و سپس عددهای اول بینِ ۱ تا $N$ را پیدا می‌کنید. اکنون اگر $N$ بزرگتر یا مساویِ ۱۰ باشد آنگاه دیدگاهِ @Ramtin درست است ولی اگر $N<10$، آنگاه اصلا عدد ۱۰ در مجموعه‌ای که الگوریتمِ غربال را بر روی آن پیاده می‌کنید نیست پس پاسخ در این حالت می‌شود هیچ مضربی از ۵ خط نمی‌خورد. احتمالا طراح پرسش چه اگر آموزگارتان بوده‌است چه اگر نویسندهٔ کتابی، فراموش کرده‌است اشاره کند که تا چه عددی مدنظر است یا از این نکته غافل بوده‌است یا اینکه فرض کرده‌است که خودتان تشخیص می‌دهید که منظورش برای $N\geq 10$ است.

Answer 2

در غربال اراتستن اولین مضرب اعداد اول که خط می خورد مربع آن عدد اول است. مثلا اولین مضرب خط خورنده $2$ برابر $4$ و برای $5$, برابر $25$ است. مابقی مضارب $5$ توسط مضارب $2$یا$3$ خط خورده اند.

Answer 3

هنگام حذف مضارب 5 اولین مضرب 5 خود 5 است که به عنوان عدد اول نگه می داریم و خط نمی زنیم. دومین مضرب 5 عدد 10 است ولی مضرب 2 است و قبلا خط خورده است. سومین مضرب 5 عدد 15 است ولی قبلا به عنوان مضرب 3 خط خورده است. چهارمین مضرب 5 عدد 20 است ولی قبلا به عنوان مضرب 2 خط خورده است. پنجمین مضرب 5 عدد 25 است و باید خط بخورد. بنابراین اولین مضرب 5 که در روش غربال باید خط بخورد عدد 25 است.