بیان مفهوم فرمول بدست آوردن ماکزیمم دو عدد($max \{a,b\}= \frac{a+b}{2}+\mid \frac{a-b}{2} \mid$)

Question

با سلام می خواستم بفرمائید مفهوم ماکزیمم دو عدد مثبت $a,b$ برابر است با: $max \{a,b\}= \frac{a+b}{2} + \mid \frac{a-b}{2} \mid$ را بفرمایید واثبات کنید و همچنین اگر به جای $a ,b$ عبارتهای جبری باشه مفاهیمی که گفتم برای عبارتهای جبری به چه معناست؟

Comments

عبارت‌های جبری مثل چی؟
میشه یک مثال بنویسید؟

Answer 1

ما دو عدد $a,b$را دراختيار داريم واصلا هم نميدونيم كدام يك بزرگتر وكداميك كوچكتر است

حال ميخواهيم به زبان رياضي بگوييم كدام يك بزرگتر يعني$max \big{a.b\big}$

وكدام يك كوچكتر است يعني$min \big{a,b\big}$...

كه براي اين كار ابتدا محور اعداد حقيقي را كشيده و دوعددa,b به طور دلخواه روي ان قرار ميدهيم (فرقي هم نمي كند $a$اول قرار گرفته باشد يا $b$)

سپس وسط اين دو عدد را با $\frac{a+b}{2}$ نمايش مي دهيم زيرا وسط دو عدد حقيقي ميانگين ان دو عدد مي باشد

و با توجه به نكته

فاصله دو عدد حقيقي به زبان رياضي اينگونه $|a-b|$ يا $|b-a|$ نمايش مي دهند

فاصله اين دو عدد حقيقي $a,b$را اينگونه $|a-b|$ يا$|b-a|$ نمايش مي دهيم

و در نهايت به شكل زير مي رسيم...

حال فاصله را نصف مي كنيم يعني $| \frac{a-b}{2} |$ كه به دو قطعه يكسان تبديل شود وهر كدام از ان قطعه را شعاع ميگوييم...

حال با اين مقدمه ميتوانيم ماگزيمم ومينيمم اين دو عدد را بدست آورد....كه برابر هستند با

$max \big{a,b\big}=شعاع+ميانگين= \frac{a+b}{2}+ | \frac{a-b}{2} |$

$min \big{a.b\big}=شعاع -ميانگين= \frac{a+b}{2}- | \frac{a-b}{2} |$

Answer 2

$max {a,b}$ به این مفهوم است که در بین دو عدد $a$ و $b$ کدام یک بیشترین است یا به عبارت دیگر $a$ بزرگ‌تر است یا $b$.

تعریف قدر مطلق را یادآوری می‌کنیم:

$|x|= \begin{cases}x \quad اگر \quad x\geqslant 0\ -x \quad اگر \quad x< 0\end{cases}$

دو حالت زیر وجود دارد:

1) $a < b$ در این صورت $(a-b)< 0$ پس طبق یادآوری داریم که $|\frac{a-b}{2}|=- \frac{(a-b)}{2}=\frac{b-a}{2}$; می‌دانیم در این حالت $max {a,b }=b$ و از طرفی با توجه به مساوی بالا می‌توان گفت:

$max {a,b }= b= \frac{2b}{2} +\frac{a}{2}-\frac{a}{2} = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}=\frac {a+b}{2}+|\frac{a-b}{2}|$

2) $b \leqslant a$ در این صورت $(a-b)\geqslant0$ پس طبق یادآوری داریم $|\frac{a-b}{2}|=\frac{a-b}{2}$; می‌دانیم در این حالت $max {a,b }=a$ و از طرفی با توجه به مساوی بالا می‌توان گفت:

$max {a,b }= a= \frac{2a}{2} +\frac{b}{2}-\frac{b}{2} = \frac{a+b}{2} + \frac{a-b}{2}=\frac {a+b}{2}+|\frac{a-b}{2}|$