نکته اولی که باید بهش توجه داشته باشیم اینه که جهت گردش این دو سیاره یک جوره (هر دو ساعتگرد یا هر دو پادساعتگرد، بسته به این‌که از کدوم طرف نگاه کنید). یعنی جهت گردش کل سامانه خورشیدی یک جوره! مثل این‌که یه نفر با قاشق چای‌خوری همه‌ش رو هم زده باشه!!
فقط جهت گردش دو تا از سیارات به دور «خودشون» استثناست. البته نه خیلی!
شاید بهترین روش برای حل این مسئله اینه که چارچوب مرجعمون رو ببریم رو یکی از این دو سیاره. مثلاً از روی هرمز (مشتری) به کیوان (زحل) نگاه کنیم. البته چون هرمز در مرکز قرار نداره، یه خرده سخت می‌شه. بنابراین من یک ناظر روی خورشید (در مرکز) قرار می‌دم که همواره روش به هرمزه. یعنی از نگاه این ناظر، هرمز همواره در یک نقطه داره، فقط ممکنه کمی بالا پایین (یا دور و نزدیک) بشه (مختصه $\phi$ یا مختصه $r$ تغییر جزئی کنه)، اما زاویه قطبی‌ش که تو این مسئله مورد نظر ماست (مختصه $\theta$) تغییر نمی‌کنه (برای آشنایی با دستگاه مختصات کروی این صفحه رو ببینید).
برای راحتی می‌تونید فرض کنید خورشید دقیقاً با همون دوره تناوبی که هرمز داره به دور خودش می‌چرخه و این ناظر ما روی خورشید نشسته و حرکت نمی‌کنه.
بعدش فقط کافیه «دوره تناوب‌ها» رو تبدیل کنیم به «سرعت‌های زاویه‌ای» و بعد «سرعت زاویه‌ای نسبی» رو به دست بیاریم و بعد تبدیلش کنیم به «دوره تناوب نسبی» و تمام!
دوره تناوب نجومی هرمز رو $T_0$ و دوره تناوب نجومی کیوان رو $T_1$ در نظر می‌گیریم، بنابراین سرعت‌های زاویه‌ای‌شون به ترتیب می‌شه:
$$\begin{array}{l}
\omega_0 = \pm \frac{2\pi}{T_0}\\
\omega_1 = \pm \frac{2\pi}{T_1}
\end{array}$$
که چون هر دو در یک جهت هستند، هر دو رو مثبت در نظر می‌گیریم.
از تفاضل این دو تا، سرعت زاویه نسبیِ «کیوان به هرمز» به دست میاد. یعنی همون سرعت زاویه‌ای کیوان از نگاه ناظر ما. به طور کلی برای به دست آوردن سرعت زاویه‌ای هر جسمی از نگاه ناظری که تعریف کردیم، باید $\omega_0$ رو از سرعت زاویه‌ای نجومی اون جسم کم کنیم:
$$\begin{array}{l}
\omega = \omega_1 - \omega_0\\
\omega = \frac{2\pi}{T_1} - \frac{2\pi}{T_0}\\
\omega = 2\pi (\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0})
\end{array}$$
که یک عدد منفی می‌شه و معناش اینه که از نگاه این ناظر، کیوان به عقب حرکت می‌کنه (چون سرعت زاویه‌ای کیوان کمتر از سرعت زاویه‌ای هرمزه).
و گام آخر، محاسبه دوره تناوب نسبی:
$$\begin{array}{l}
T = |\frac{2\pi}{\omega}|\\
T = |\frac{1}{(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0})}|
\end{array}$$
که می‌شه به صورت زیر، قشنگ‌تر و متقارن‌تر نوشته‌ش:
$$\begin{array}{l}
\frac{1}{T} = |\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0}|\\
\end{array}$$
عددگذاری با خودتون. موفق باشید.
اینم هدیه من به شما که علاقه‌مندید:
https://www.solarsystemscope.com/
