به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
138 بازدید
در دبیرستان توسط Sam11 (12 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

دورهٔ تناوبی نجومی (یعنی همان مدت زمانی که طول می‌کشد تا یک کُره، یک دور کامل دور خورشید بزند، یا به اصطلاح یک سال آن کره) برای زحل برابر با $29.65$ سالِ کرهٔ زمین، و دوره تناوبی نجومی مشتری برابر با $11.86$ سال زمین است. مقارنه این دو سیاره چند سال به چند سال اتفاق می‌افتد؟ منظور از مقارنه این است که این دو کره از دید یک فرد بر روی زمین در یک راستا قرار بگیرند.

توسط AmirHosein (13,612 امتیاز)
@Sam11 سعی کنید اصطلاح‌هایی که برای همه روشن نیست را اشاره‌ای بکنید. برای نمونه ببینید آیا منظورتان از «مقارنه» همین معنایی است که نوشتم یا نوع دیگری از مقارنه مد نظرتان است؟
توسط Sam11 (12 امتیاز)
سلام امیرحسین
مطالبی که گذاشتین بله در واقع توضیح بیشتر اون مسئله هست.

1 پاسخ

+3 امتیاز
توسط mirismaili (368 امتیاز)
ویرایش شده توسط mirismaili

نکته اولی که باید بهش توجه داشته باشیم اینه که جهت گردش این دو سیاره یک جوره (هر دو ساعتگرد یا هر دو پادساعتگرد، بسته به این‌که از کدوم طرف نگاه کنید). یعنی جهت گردش کل سامانه خورشیدی یک جوره! مثل این‌که یه نفر با قاشق چای‌خوری همه‌ش رو هم زده باشه!! فقط جهت گردش دو تا از سیارات به دور «خودشون» استثناست. البته نه خیلی!


شاید بهترین روش برای حل این مسئله اینه که چارچوب مرجعمون رو ببریم رو یکی از این دو سیاره. مثلاً از روی هرمز (مشتری) به کیوان (زحل) نگاه کنیم. البته چون هرمز در مرکز قرار نداره، یه خرده سخت می‌شه. بنابراین من یک ناظر در مرکز سامانه خورشیدی (تقریباً روی خورشید) قرار می‌دم که همواره روش به هرمزه. یعنی از نگاه این ناظر، هرمز همواره در یک نقطه قرار داره. فقط ممکنه کمی بالا پایین بشه (مختصه $\phi$ تغییر جزئی کنه) یا کمی دور و نزدیک بشه (مختصه $r$ تغییر جزئی کنه)، اما زاویه قطبی‌ش (مختصه $\theta$) که تو این مسئله مورد نظر ماست، تغییری نمی‌کنه (برای آشنایی با دستگاه مختصات کروی این صفحه رو ببینید).

برای راحتی می‌تونید فرض کنید خورشید دقیقاً با همون دوره تناوبی که هرمز داره، داره به دور خودش می‌چرخه و این ناظر ما روی خورشید نشسته و حرکت نمی‌کنه. بنابراین همواره هرمز رو در یک نقطه می‌بینه.


بعدش فقط کافیه «دوره تناوب‌ها» رو تبدیل کنیم به «سرعت‌های زاویه‌ای» و بعد «سرعت زاویه‌ای نسبی» رو به دست بیاریم و بعد تبدیلش کنیم به «دوره تناوب نسبی» و تمام!


دوره تناوب نجومی هرمز رو $T_0$ و دوره تناوب نجومی کیوان رو $T_1$ در نظر می‌گیریم، بنابراین سرعت‌های زاویه‌ای‌شون به ترتیب می‌شه:

$$\begin{array}{l} \omega_0 = \pm \frac{2\pi}{T_0}\\ \omega_1 = \pm \frac{2\pi}{T_1} \end{array}$$

که چون هر دو در یک جهت هستند، هر دو رو مثبت در نظر می‌گیریم.

از تفاضل این دو تا، سرعت زاویه نسبیِ «کیوان به هرمز» به دست میاد. یعنی همون سرعت زاویه‌ای کیوان از نگاه ناظر ما. به طور کلی برای به دست آوردن سرعت زاویه‌ای هر جسمی از نگاه ناظری که تعریف کردیم، باید $\omega_0$ رو از سرعت زاویه‌ای نجومی اون جسم کم کنیم:

$$\begin{array}{l} \omega = \omega_1 - \omega_0\\ \omega = \frac{2\pi}{T_1} - \frac{2\pi}{T_0}\\ \omega = 2\pi (\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0}) \end{array}$$

که یک عدد منفی می‌شه و معناش اینه که از نگاه این ناظر، کیوان به عقب حرکت می‌کنه (چون سرعت زاویه‌ای کیوان کمتر از سرعت زاویه‌ای هرمزه).


و گام آخر، محاسبه دوره تناوب نسبی:

$$\begin{array}{l} T = |\frac{2\pi}{\omega}|\\ T = |\frac{1}{(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0})}| \end{array}$$

که می‌شه به صورت زیر، قشنگ‌تر و متقارن‌تر نوشته‌ش: $$\begin{array}{l} \frac{1}{T} = |\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_0}|\\ \end{array}$$

عددگذاری با خودتون. موفق باشید.


اینم هدیه من به شما که علاقه‌مندید:

https://www.solarsystemscope.com/

توسط mirismaili (368 امتیاز)
ویرایش شده توسط mirismaili
+1
سه تا نکته «جالب» و «خیلی خیلی جالب» و «جالب‌تر» در مورد این پرسش و پاسخ وجود داره! نکته «جالب» این‌که همین الان ما در آستانه یکی از این مقارنه‌ها هستیم! الان که من دارم این دیدگاه رو می‌نویسم حدود ۲۴ روز از زمان پرسیده شدن این پرسش و پاسخش می‌گذره و از طرفی تا «رویداد بعدی این مقارنه» حدود ۱۸ روز باقی مونده.
اگر اعداد مربوط به دوره تناوب این دو سیاره رو توی فرمول قرار بدیم متوجه می‌شیم که این رویداد حدوداً هر ۲۰ سال یک بار رخ می‌ده!

اما نکته «خیلی خیلی جالب» این‌که خود این مقارنه هم در بین مقارنه‌های این دو سیاره، یک مقارنه عادی و معمولی نیست! چون این‌بار فاصله (زاویه‌ای) این دو سیاره، از نگاه ما بسیار اندک دیده می‌شه. طوری که در ۸۰۰ سال گذشته سابقه نداشته!!!
منبع:
https://people.com/human-interest/jupiter-and-saturn-will-form-a-double-planet-in-the-sky-just-in-time-for-christmas/

توی صفحه‌ای که لینکش رو فرستادم به هم‌زمانی این رویداد با کریسمس (۲۱ دسامبر) اشاره کرده. اما اگر این تاریخ رو برگردونیم به تاریخ جلالی خودمون که بر اساس پدیده‌های نجومی چیده شده و خیلی بهتر گویای رخدادهای نجومیه، متوجه اون نکته جالب‌تر هم می‌شیم: ۲۱ دسامبر، مصادفه با «یکم دی»! یعنی دقیقاً در محدوده شب یلدا … طولانی‌ترین شب سال و نقطه انقلاب زمستانی/تابستانی در نیمکره شمالی/جنوبی!
البته اگه بخوایم مته به خشخاش بذاریم، باید در نظر بگیریم که این دو رویداد (لحظه انقلاب زمستانی و لحظه مقارنه هرمز و کیوان) هر کدوم در یک لحظه کوتاه رخ می‌دن، نه در طول یک شب یا روز. بنابراین نمی‌تونیم نتیجه بگیریم که دقیقاً بر هم منطبق هستن. اما چیزی که واضحه اینه که اصلاً فاصله زیادی با هم ندارن!!

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...