Question

حاصل $ \lim_{x\to 1} \frac{\tan \pi x}{ x^{2} - \sqrt{x} } $ کدام است؟

1. $ \frac{ \pi }{3} $
2. $ \frac{2 \pi }{3} $
3. $ \frac{3 \pi }{2} $
4. $ \frac{ \pi }{3} $

Comments

Gandom@اگر تاپ را یاد بگیرید ببینید چقدر صورت سوال زیبا و واضح می شود

Answer 1

$ \lim_{x\to 1} \frac{tan \pi x(x^2+ \sqrt{x}) }{x^4-x}=\lim_{x\to 1} \frac{tan \pi x(x^2+ \sqrt{x}) }{x(x-1)(x^2+x+1)}=\lim_{x\to 1} \frac{tan \pi x}{x-1} \times \lim_{x\to 1} \frac {(x^2+ \sqrt{x})}{x(x^2+x+1)}$ اگر $x-1=t $فرض کنیم که $ x=t+1$آنگاه

$$ \lim_{t\to 0} \frac{tan \pi t}{t} \times \lim_{x\to 1} \frac {(x^2+ \sqrt{x})}{x(x^2+x+1)}= \pi \times \frac{2}{3}= \frac{2 \pi }{3} $$