اگر $x,y,z,t$ دنباله حسابی و $\frac{1}{x}+\frac{1}{t}=\frac{15}{4}$ و $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{2}$، قدر نسبت دنباله چند است؟

Question

فرض کنید عددهای $x$ و $y$ و $z$ و $t$ با همین ترتیب، چهار جملهٔ پشت سر هم از یک دنبالهٔ حسابی باشند و بعلاوه دو رابطهٔ زیر نیز برقرار باشند.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{t}=\frac{15}{4},\quad\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{2}$$

در این صورت قدر نسبت دنبالهٔ حسابی مورد نظر را بیابید.

Answer 1

اگر فرض کنیم $t=a-d,z=a,y=a+d,x=a+2d$آنگاه:

$ \frac{1}{a+2d}+ \frac{1}{a-d}= \frac{15}{4} و \frac{1}{a+d}+ \frac{1}{a}= \frac{5}{2} $

$\frac{2a+d}{a^2+ad-2d^2}= \frac{15}{4} و \frac{2a+d}{a^2+ad}= \frac{5}{2} $

$ \frac{2}{5}-\frac{2d^2}{a+2d}= \frac{4}{15} $

$ \frac{d^2}{2a+d}= \frac{1}{15} $

لذا $2a+d=15d^2$ و $a= \frac{15d^2-d}{2} $ با توجه به تساوی دوم $\frac{15d^2}{a(a+d)}= \frac{5}{2}$ و جایگزینی دازیم:

$$\frac{15d^2}{\frac{15d^2-d}{2} \times \frac{15d^2+d}{2}}= \frac{5}{2} $$

$ \frac{12}{15^2d^2-1}= \frac{1}{2} \Rightarrow d^2= \frac{25}{15^2} \Rightarrow d= \mp \frac{1}{3} $

Comments

با سلام جوابی که فرستادید خیلی عالی بود گزینه درست هم بود ممنون