Question

نشان دهید قرینه مرکز همرسی ارتفاع های مثلث نسبت به هر یک از اضلاع آن روی دایره ی محیطی آن مثلث می افتد.در شکل زیر E محل همرسی ارتفاع های مثلث و Q قرینه ی آن نسبت به CD می باشد.

Answer 1

میتوان EG را امتداد داد تا دایره را در Q قطع کند سپس ثابت کنیم EG=GQ , دو مثلث CED و CQD را در نظر بگیرید اگر دو مثلث همنهشت شوند در نتیجه EG=GQ و مسئله اثبات میشود،می توان با چهارضلعی محاصی و کمان های برابر به این نتیجه رسید که زاویه CED مکمل A است و همچنین زاویه DQC روبه روی زاویه CFD و مکمل آن است چرا که چهارضلعی FCDQ محاطی است پس برابر با زاویه CED می باشد، ، CD نیز در دو مثلث مشترک است ،زوایای ECD و DFQ برابرند زیرا اگر پای ارتفاع نظیر راس C را H در نظر بگیریم CHF=FGC=90 ، زوایای روبه یک ضلع برابر و چهارضلعی CGHF محاطی است به طور مشابه زاویه های EDCو QFC برابرند ، در نتیجه زوایای ECD=DCQ و زوایای EDC=CDQ پس دو مثلث ECD و QCD به حالت ز ض ز همنهشت بوده و ارتفاع های نظیرشان برابر است پس میتوان نتیجه گرفت که قرینه مرکز ارتفاعی نسبت به اضلاع مثلث روی دایره محاطی می افتد.

Comments

سلام و درود و خسته نباشید. لطفاً درمورد مکمل بودن زاویه های CED با CFD بیشتر توضیح دهید.

---

سلام،اگر پای ارتفاع نظیر راس C را H در نظر بگیرید از انجا که  زوایای FGC=CHF=90 هستند در نتیجه چهارضلعی FHGC محتطی است وس زوایای HCD=DFGرو به یک ضلع بوده و با هم برابرند به طور مشابه اگر ارتفاع نظیر راس D را رسم کنید به نتیجه مشابه رسیده و زوایای EDC=GFC خواهند بود و می دانیم که جمع زوایای EDC و ECD برابر با زاویه A است پس زاویه CED مکمل زاویه A است.