سادهتر بودن به چه معنا؟ برای نمونه آیا میخواهید به عملهای دوتایی (یعنی دو ورودی میگیرند) محدود باشیم یا عملهای یکتایی مانند عمل نقیض را هم میتوانیم استفاده کنیم؟ اگر فقط به عملهای دوتایی محدود نباشیم آنگاه عمل نقیض یک عمل یکتایی است، دامنهاش یک مجموعهٔ دوعضوی است در حالیکه عملهای و و یا عملهای دوتایی با دامنهٔ چهارعضوی هستند. پس به نوعی عمل نقیض عملی سادهتر از دو عمل دیگر است چون با دادهٔ کمتری میتوان آن را معرفی کرد. و همانطور که احتمالا میدانید برای نمونه بنا به قانونهای دمورگان، میتوان «و» را با کمک «یا» و «نقیض» ساخت یا «یا» را میتوان به کمک «و» و «نقیض» ساخت. پس هر یک از دو مجموعهٔ $\lbrace\text{ و },\text{ نقیض }\rbrace$ و $\lbrace\text{ یا },\text{ نقیض }\rbrace$ میتوانند مثالی باشند که سادهتر از مجموعهٔ $\lbrace\text{ و },\text{ یا }\rbrace$ هستند و در عین حال هر گزارهٔ منطقیای که با این مجموعه ساخته بشود را آنها نیز میتوانند بسازند.
اما اکنون به عملهای دوتایی محدود شویم. ۱۶ عمل دوتایی داریم. عمل نقیض را میتوانیم به طور بدیهی به یک عمل دوتایی تعمیم دهیم. از اینجا به بعد به آن عمل نقیض چپ میگوییم که به شکل زیر تعریف میشود (عمل نقیض راست هم به روش مشابه تعریف میشود).
$$\begin{array}{c|c|c}
X & Y & X\overleftarrow{\sim}Y\\
\hline
T & T & F\\
T & F & F\\
F & T & T\\
F & F & T
\end{array}$$
«و» و «یا» را از این به بعد با $\wedge$ و $\vee$ نمایش دهید و نقیض یکتایی را با $\sim$. داریم
\begin{align}
X\wedge Y &= \sim\big((\sim X)\vee (\sim Y)\big)\\
&=\big((\sim X)\vee (\sim Y)\big)\overleftarrow{\sim}X\\
&= \big((X\overleftarrow{\sim}X)\vee(Y\overleftarrow{\sim}X)\big)\overleftarrow{\sim}X
\end{align}
بنابراین مجموعههای دوعضوی دیگری از دوتاییها هستند که بتوانند هر چه که $\lbrace\wedge,\vee\rbrace$ میسازد را بسازد ولی توجه کنید که مجموعهٔ $\lbrace\wedge,\vee\rbrace$ نمیتواند مجموعهٔ $\lbrace\overleftarrow{\sim},\vee\rbrace$ را بسازد. توجه کنید که عملهای $\wedge$ و $\vee$ شرکتپذیر و جابجایی هستند و نسبت به هم نیز پخشپذیر هستند. پس تنها سه عمل بوسیلهٔ این دو عمل ساخته میشود: همانی، و، یا. که هیچیک از این سه عمل برابر با نقیضچپ نیست. پس اگر خودمان را به دوتاییها محدود کنیم، آنگاه گزینههای بهتری هم هستند که آنها هم دوعضوی هستند، مجموعهٔ شما را میسازند ولی مجموعهٔ شما، مجموعهٔ آنها را نمیسازد!
پس در هر دو حالت چه به دوتاییها محدود شویم چه نشویم، مجموعهٔ $\lbrace\wedge,\vee\rbrace$ سادهترین مجموعهٔ سازندهٔ گزارههای منطق دوارزشی نخواهدشد. در واقع در منطق همیشه عمل نقیض را نیز به این مجموعه میافزایند و گاهی هم فقط یکی از این دو را به همراه عمل نقیض برمیدارند.
