غربال گری اعداد اول .ریاضی نهم

Question

۱۰)در بین اعداد ۱تا۲۰۰ چند عدد وجود دارد که تعداد شمارنده آنها فرد است؟

الف)۱۱. ب)۱۲. ج)۱۴. د)۱۶ میشه کامل توضیح بدید. اگه فرمول هم داره بگید ممنون

Comments

دو نکته مهم وجود دارد.
1_ اگر عددی مربع کامل باشد، آنگاه تعداد مقسوم علیه هایش فرد هستند.
۲_ اگر عددی مربع کامل نباشد، آن گاه تعداد مقسوم علیه هایش زوج هستند.

---

@Elyas1 با درود به دوست گرامی. دقیقاً به نکته درستی اشاره کردید. و این هم بخاطر افزودن یک واحد به توان در تجزیه اعداد بمنظور یافتن $\sigma (n)$ است

Answer 1

با درود. هر عدد طبیعی $n$ را میتوان با تجزیه به عاملهای اول $a,b,c,...$ بشکل زیر نوشت.

$1)n=a^{\alpha} \times b^{ \beta } \times c^{\gamma } \times ...$

که تعداد شمارنده های آن با نماد $\sigma (n)$ با فرمول زیر بدست میاد.

$2) \sigma (n)=(\alpha+1) \times ( \beta +1) \times ( \ \gamma +1) \times ...$

حال بوضوح می بینید چنانچه هریک از توانهای فرمول $1$ فرد باشد، باعث میشود تعداد شمارنده ها با فرمول $2$ زوج شود. پس ناچار همه توانهای فرمول $1$ باید زوج باشند. یعنی فقط همه مجذورها تا عدد $200$ میتوانند تعداد شمارنده های فرد داشته باشند. و چون تعداد مجذورهای کوچکتر از $200$ چهارده تا $(1^{2} .... 14^{2})$ است، گزینه (ج) درست است. موفق باشید.