به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
36 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Am.s (380 امتیاز)
برچسب گذاری دوباره توسط Math.Al

با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان

می‌دانیم که فاکتوریل یک عدد صحیحِ مثبت (طبیعی) برابر است با حاصل‌ضرب آن عدد در تمام اعداد صحیحِ مثبت کوچک‌تر از خود، اما آیا برای اعداد صحیح کوچک‌تر از صفر، می‌توان فاکتوریل را به‌همین شکل تعریف کرد؟ آیا واقعاً اعداد صحیح کوچک‌تر از صفر، فاکتوریل ندارند؟

برای پاسخ به‌این پرسش، بنده خودم بررسی‌هایی انجام‌دادم. برای مثال حاصل فاکتوریل یک عدد منفی را در نرم‌افزار Wolfram Mathematica محاسبه‌کردم:

توضیحات تصویر

اما نرم‌افزار در خروجی عبارت "ComplexInfinity" را نمایش می‌دهید. دربارۀ معنای دقیق آن در ریاضیات چیزی زیادی نمی‌دانم اما فکر می‌کنم معنای لغوی آن "بی‌نهایت پیچیده" باشد. خب این در ریاضیات به چه معناست؟

همچنین با تابع گاما هم آشنایی دارم، اما پس از جست و جو متوجه‌شدم که تابع گاما برای همه اعداد مختلط، غیر از اعداد صحیح غیر مثبت، تعریف شده‌است. که یعنی نمی‌توان با استفاده از تابع گاما، حاصل فاکتوریل اعداد صحیح غیر مثبت و کوچک‌تر از صفر را به‌دست آورد. بنابراین، آیا واقعاً اعداد صحیح کوچکتر از صفر، فاکتوریل ندارند؟

توسط AmirHosein (14,031 امتیاز)
+1
@Am.s عبارت `ComplexInfinity` به منظور «بینهایت مختلط» (مختلط اشاره به اعداد مختلط دارد) استفاده شده‌است. اینطور فکر کنید که یک تابع مختلط‌مقدار دارید که عدد منفی‌تان ریشهٔ مخرج این تابع است، حاصل تعریف‌نشده از نوع تقسیم بر صفر می‌شود. اگر تابع‌تان یک تابع حقیقی‌مقدار کسری با صورت و مخرج چندجمله‌ای می‌بود چه نتیجه‌ای می‌گرفتید؟ نتیجه می‌گرفتید که یک مجانب عمودی دارید، در نزدیکی این عدد تابع‌تان به مثبت یا منفی یا هر دو بینهایتِ حقیقی میل می‌کند، نه؟ اکنون یک وضعیت مشابهی برای تابع گاما و مختلط مقدار در مقدارهای صحیح منفی دارید.
اما خود فاکتوریل تنها برای اعداد طبیعی و صفر تعریف می‌شود. هر چیز دیگری یک توسیع و تعمیم است و نه خود فاکتوریل اصلی.

پاسخ شما


نام شما برای نمایش - اختیاری
حریم شخصی : آدرس ایمیل شما محفوظ میماند و برای استفاده های تجاری و تبلیغاتی به کار نمی رود
کد امنیتی:
حاصلجمع 7 و 6 چقدر است؟(پاسخ حروفی)
برای جلوگیری از این تایید در آینده, لطفا وارد شده یا ثبت نام کنید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...