همهٔ عددهای طبیعی که برابر با جمع فاکتوریل رقم های خودشان هستند را بیابید.

Question

تمام اعداد طبیعی‌ای را بیابید که برابر مجموع فاکتوریل‌های رقم‌هایشان باشد.

ویرایشگر: پرسش‌کننده متن بیشتری وارد نکرده‌است.

Comments

سلام میشه منبع سوال را بفرمایید؟

---

عدد ۱۴۵ در ذهنم است که چنین خاصیتی  را  دارد.

---

ازنظر من این سوال نباید اینقدر گستردگی دامنه داشته باشد.یعنی مثلا روی دامنه محدودی باید بحث کند. مثلا اعداد دو رقمی،یا سه رقمی.

Answer 1

در مقالهٔ کوتاه تقریبا یک‌صفحه‌ایِ زیر تنها یک قضیه ثابت شده‌است که دقیقا پاسخ این پرسش است.

قضیه: تنها عددهای طبیعیِ دارای این ویژگی که برابر با جمعِ فاکتوریلِ رقم‌هایشان باشند برابر هستند با ۱، ۲، ۱۴۵ و ۴۰۵۸۵.

مرجع: مقالهٔ Integers and the sum of the factorials of their digits، نوشتهٔ George D. Poole، از دانشگاه Texas Tech، چاپ‌شده در مجلهٔ Mathematics Magazine، جلد ۴۴، شمارهٔ ۵، صفحه‌های ۲۷۸-۲۷۹، سال ۱۹۷۱، پیوند https://doi.org/10.1080/0025570X.1971.11976172.

Comments

@AmirHosein ببخشید با چه نرم افزاری فایل را باز کنیم؟

---

@Elyas1 اگر با کلیک بر روی پیوند به صفحه مورد نظر نمی‌رسیدید، مشکلش حل شد. البته با کپی پیست کردن خود پیوند در مرورگر به صفحهٔ درست می‌رسیدید. مشکل این بود که در پیوند وصل شده به متن پیوند یک چیز اضافه‌تر تایپ شده بود. البته الآن تصحیح شد. اما اگر منظورتان خود pdf مقاله است که با هر نرم‌افزار pdfخوانی می‌توانید آن را باز کنید. در نهایت اگر منظورتان دانلود کردن pdf از سایت انتشارات این مقاله است که یا باید پول بدهید یا دسترسی سازمانی/دانشگاهی داشته باشید که سازمان یا دانشگاه‌تان اشتراک این مجله یا انتشارات را داشته باشد. یا از کسی که دسترسی دارد بخواهید که برایتان این مقاله را بگیرد.

Answer 2

قبلا گفتم $145$تنها عددسه رقمی است که برابر با جمع فاکتوریل ارقامش است.می خواهم این موضوع را بیشتر توضیح بدهم.(با تشکر از دکتر$AmirHosein$بابت پاسخ شان).داریم $$1=1!$$ $$2=2!$$ برای اعداد یک رقمی در شرط سوال صدق می کنند..برای اعداد دو رقمی $$AB=A!+B!$$ اعداد دو رقمی بازه مورد قبول از $1$تا$4$هستند.چون$5!=120$که دو رقمی نیست.و $4\times4=16$عدد دو رقمی ${11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44}$راشامل می شود که در شرط صدق نمی کنند.حال برای اعداد سه رقمی داریم $$ABC=A!+B!+C!$$ داریم$7!=5040$که سه رقمی نیست.پس بازه مورد قبول اعداد$1$تا$6$هستند بطور خلاصه، با کنکاش به این نتیجه می رسیم که $6$هم غیر قابل قبول است. و تنها با ارقام$1,4,5$میتوان عددموردنظر را نوشت که$145$ است. $$145=1!+4!+5!$$