قبلا گفتم $145$تنها عددسه رقمی است که برابر با جمع فاکتوریل ارقامش است.می خواهم این موضوع را بیشتر توضیح بدهم.(با تشکر از دکتر$AmirHosein$بابت پاسخ شان).داریم$$1=1!$$$$2=2!$$برای اعداد یک رقمی در شرط سوال صدق می کنند..برای اعداد دو رقمی $$AB=A!+B!$$ اعداد دو رقمی بازه مورد قبول از $1$تا$4$هستند.چون$5!=120$که دو رقمی نیست.و $4\times4=16$عدد دو رقمی ${11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44}$راشامل می شود که در شرط صدق نمی کنند.حال برای اعداد سه رقمی داریم$$ABC=A!+B!+C!$$داریم$7!=5040$که سه رقمی نیست.پس بازه مورد قبول اعداد$1$تا$6$هستند بطور خلاصه، با کنکاش به این نتیجه می رسیم که $6$هم غیر قابل قبول است. و تنها با ارقام$1,4,5$میتوان عددموردنظر را نوشت که$145$ است.$$145=1!+4!+5!$$
