آیا واقعاً اعداد صحیح کوچکتر از صفر، فاکتوریل ندارند؟

Question

با سلام خدمت تمام کاربران و اساتید محترم سایت محفل ریاضی ایرانیان

می‌دانیم که فاکتوریل یک عدد صحیحِ مثبت (طبیعی) برابر است با حاصل‌ضرب آن عدد در تمام اعداد صحیحِ مثبت کوچک‌تر از خود، اما آیا برای اعداد صحیح کوچک‌تر از صفر، می‌توان فاکتوریل را به‌همین شکل تعریف کرد؟ آیا واقعاً اعداد صحیح کوچک‌تر از صفر، فاکتوریل ندارند؟

برای پاسخ به‌این پرسش، بنده خودم بررسی‌هایی انجام‌دادم. برای مثال حاصل فاکتوریل یک عدد منفی را در نرم‌افزار Wolfram Mathematica محاسبه‌کردم:

اما نرم‌افزار در خروجی عبارت "ComplexInfinity" را نمایش می‌دهد. که معنای آن در ریاضیات "بی‌نهایت مختلط" (مختلط اشاره به اعداد مختلط دارد) است.

همچنین با تابع گاما هم آشنایی دارم، اما پس از جست و جو متوجه‌شدم که تابع گاما برای همه اعداد مختلط، غیر از اعداد صحیح غیر مثبت، تعریف شده‌است. که یعنی نمی‌توان با استفاده از تابع گاما، حاصل فاکتوریل اعداد صحیح غیر مثبت و کوچک‌تر از صفر را به‌دست آورد. بنابراین، آیا واقعاً اعداد صحیح کوچکتر از صفر، فاکتوریل ندارند؟

Comments

@Am.s عبارت `ComplexInfinity` به منظور «بینهایت مختلط» (مختلط اشاره به اعداد مختلط دارد) استفاده شده‌است. اینطور فکر کنید که یک تابع مختلط‌مقدار دارید که عدد منفی‌تان ریشهٔ مخرج این تابع است، حاصل تعریف‌نشده از نوع تقسیم بر صفر می‌شود. اگر تابع‌تان یک تابع حقیقی‌مقدار کسری با صورت و مخرج چندجمله‌ای می‌بود چه نتیجه‌ای می‌گرفتید؟ نتیجه می‌گرفتید که یک مجانب عمودی دارید، در نزدیکی این عدد تابع‌تان به مثبت یا منفی یا هر دو بینهایتِ حقیقی میل می‌کند، نه؟ اکنون یک وضعیت مشابهی برای تابع گاما و مختلط مقدار در مقدارهای صحیح منفی دارید.
اما خود فاکتوریل تنها برای اعداد طبیعی و صفر تعریف می‌شود. هر چیز دیگری یک توسیع و تعمیم است و نه خود فاکتوریل اصلی.

Answer 1

اگر به نمودار تابع گاما دقت کنید این تابع در اعداد صحیح منفی مجانب های قایم دارد.ولی یکی از خواص تابع گاما به شکل زیر است: $\Gamma (x) = \frac{1}{x}\Gamma (x+1)$ به هر حال این خاصیت فقط برای اعداد مثبت صحیح است اما به طور معمول می توان برای اعداد صحیح منفی این تعریف را گسترش داد و برای آنها استفاده کرد.-زیرا فقط و فقط یک قرار داد است-برای همین است که نرم افزار هایی مانند متمتیکا و wolfram|Alpha به شما بی نهایت مختلط می دهند.واضحا این قرار داد فقط در برخی موارد استفاده می شود.اگر بخواهیم به ازای -۵ از این قرار داد استفاده کنیم خواهیم داشت: $\Gamma (-5) = -\frac{1}{5}\Gamma (-4) = \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4}\Gamma (-3) = -\frac{1}{60}\Gamma (-2) = \frac{1}{120}\Gamma (-1) = -\frac{1}{120}$ نکته : این فقط یک قرارداد در برخی از کتب دانشگاهی است و همه جا آنرا قبول ندارند!برای همین بهتر است به ازای اعداد صحیح منفی فقط در زمانی که می دانید این قرار داد را قبول دارند بکار ببرید. ولی درکل اگر از این قرارداد نمی توانید استفاد بکنید می توانید حاصل را بنابر عدد داده شده $\pm i\infty $قرار دهید.

Comments

@iv محاسبه‌ای که انجام دادید را چرا در $-1$ متوقف کردید. گامای منهای یک برابر با ۱ است؟ خب این اشتباه است. برای توجیه قراردادی که در حال صحبت از آن هستید باید دو گام بیشتر هم پیش بروید.
$\frac{1}{120}\Gamma(-1)=-\frac{1}{120}\Gamma(0)=-\frac{1}{120}\cdot\frac{1}{0}\Gamma(1)$. الآن می‌توانید بایستید چون گامای یک را می‌دانید می‌شود ۱. ولی یک صفر در مخرج دارید که مشکل‌ساز است و می‌توانید به عنوان بهانه‌ای برای استفاده از $\infty$ای که در متن‌تان به عنوان قرارداد گفتید معرفی کنید.

---

@amirhosein ممنون از یاداوری یادم رفته بود !