مشتق تابع $\max(b+m^2+z-x,0)$ نسبت به $m$ را چگونه باید محاسبه کنم؟

Question

می‌خواهیم از عبارت زیر برای نمونه نسبت به متغیر $m$ مشتق بگیریم.

$$\max(b+m^2+z-x,0)$$

تعریف کرده‌ایم که اگر عبارت سمت چپ بزرگتر از صفر بود آن عبارت را در نظر بگیریم و اگر منفی بود صفر را در نظر بگیریم. حال مشتق گیری نسبت به $m$ چگونه است؟ اگر $\max$ را نمی‌داشت و تنها عبارت نخست داخل پرانتز را داشتیم، پاسخ می‌شد $2m$. اما الآن که $\max$ را داریم، مشتق‌گیری به چه صورت می‌شود؟

Answer 1

تابع‌تان را می‌توانید به شکل یک تابع دوضابطه‌ای بنویسید.

$$f(b,m,x,z)=\begin{cases} b+m^2+z-x &; & b+m^2+z-x\geq 0\\ 0 & ; & b+m^2+z-x<0 \end{cases}$$

مشتق یک تابع چندضابطه‌ای چه بود؟ در هر ضابطه مشتق خودش را می‌گرفتید و در نقطه‌های مرزی دو مشتق متفاوت ممکن را چک می‌کردید که با هم برابر هستند یا خیر. اگر بلی، که مشتق دارید و هر یک از دو مقداری که برابر هم هستند را می‌توانید بردارید، اگر خیر، که تابع مشتق‌تان در آن نقطه تعریف نمی‌شود، یعنی تابع‌تان در آن نقطه مشتق‌ناپذیر است. پس در اینجا داریم که دامنهٔ $\frac{\partial f}{\partial m}$ برابر است با

$$\lbrace (b,m,x,z)\in\mathbb{R}^4\mid b+m^2+z-x\neq 0\text{ یا }b+z-x=m=0\rbrace$$

و بر روی این دامنه به شکل زیر تعریف می‌شود.

$$\frac{\partial f}{\partial m}(b,m,x,z)=\begin{cases} 2m & ; & b+m^2+z-x>0\\ 0 & ; & b+m^2+z-x<0\\ 0 & ; & b+z-x=m=0 \end{cases}$$

توجه کنید که این تابع الزاما با $\max(2m,0)$ برابر نیست چون دامنهٔ $\max(2m,0)$ کلِ $\mathbb{R}^4$ است، در حالیکه می‌توانید چهارتاییِ $(b,m,x,z)$ای بسازید که در $b+m^2+z-x=0$ صدق کند ولی $m\neq 0$ که در دامنهٔ $\frac{\partial f}{\partial m}$ قرار ندارد، برای نمونه $(1,1,3,1)$.