تابعتان را میتوانید به شکل یک تابع دوضابطهای بنویسید.
$$f(b,m,x,z)=\begin{cases}
b+m^2+z-x &; & b+m^2+z-x\geq 0\\
0 & ; & b+m^2+z-x<0
\end{cases}$$
مشتق یک تابع چندضابطهای چه بود؟ در هر ضابطه مشتق خودش را میگرفتید و در نقطههای مرزی دو مشتق متفاوت ممکن را چک میکردید که با هم برابر هستند یا خیر. اگر بلی، که مشتق دارید و هر یک از دو مقداری که برابر هم هستند را میتوانید بردارید، اگر خیر، که تابع مشتقتان در آن نقطه تعریف نمیشود، یعنی تابعتان در آن نقطه مشتقناپذیر است. پس در اینجا داریم که دامنهٔ $\frac{\partial f}{\partial m}$ برابر است با
$$\lbrace (b,m,x,z)\in\mathbb{R}^4\mid b+m^2+z-x\neq 0\text{ یا }b+z-x=m=0\rbrace$$
و بر روی این دامنه به شکل زیر تعریف میشود.
$$\frac{\partial f}{\partial m}(b,m,x,z)=\begin{cases}
2m & ; & b+m^2+z-x>0\\
0 & ; & b+m^2+z-x<0\\
0 & ; & b+z-x=m=0
\end{cases}$$
توجه کنید که این تابع الزاما با $\max(2m,0)$ برابر نیست چون دامنهٔ $\max(2m,0)$ کلِ $\mathbb{R}^4$ است، در حالیکه میتوانید چهارتاییِ $(b,m,x,z)$ای بسازید که در $b+m^2+z-x=0$ صدق کند ولی $m\neq 0$ که در دامنهٔ $\frac{\partial f}{\partial m}$ قرار ندارد، برای نمونه $(1,1,3,1)$.
