Question

خط راستي كه دونقطه $A(0,3),B(5,-2)$ به هم وصل ميكند بر منحني $y= \frac{k}{x+1 }$ مماس است.$k$كدام است.

Answer 1

شیب خط گذرنده از دو نقطه برابر است با $m _{1} = \frac{y_{2} - y_{1} }{ x_{2} - x_{1} } = \frac{3-(-2)}{0-5}=-1$ و معادله خط برابر است با $y-3=-1(x-0) \Rightarrow y=3-x$ همچنین شیب منحنی برابر مشتق است لذا برابر است با $m _{2}= \frac{-k}{(x+1) ^{2} }$

حال حل مساله:

اگر دو منحنی در نقطه $( x_{0} , y_{0} )$ مماس باشند دارای شیب برابر هستند لذا $m _{1}=m _{2}$ یا $-1= \frac{-k}{(x_{0}+1) ^{2} } \Rightarrow k=(x_{0}+1) ^{2}$ همچنین نقطه تماس در هر دو منحنی صدق می کند یعنی: $y_{0}=3-x_{0}$ و $y_{0}= \frac{k}{x_{0}+1}$ و با برابر قرار دادن داریم: $3-x_{0}=\frac{k}{x_{0}+1} \Rightarrow k=(3-x_{0})(x_{0}+1)$

حال اگر دو رابطه بدست آمده برای $k$ را با هم ترکیب کنیم داریم:

$$(3-x_{0})(x_{0}+1) =(x_{0}+1) ^{2} \Rightarrow 3-x_{0}= x_{0}+1 \Rightarrow x_{0} =1$$ و با جایگذاری در یکی از رابطه ها $k=4$ بدست می آید

(دقت کنید که در $x=-1$ در دامنه تابع $y= \frac{k}{x+1}$ قرار ندارد لذا $x_{0}+1 \neq 0$ پس توانستیم طرفین را بر $(x_{0}+1)$ تقسیم کنیم)