شیب خط گذرنده از دو نقطه برابر است با $m _{1} = \frac{y_{2} - y_{1} }{ x_{2} - x_{1} } = \frac{3-(-2)}{0-5}=-1 $
و معادله خط برابر است با $ y-3=-1(x-0) \Rightarrow y=3-x $
همچنین شیب منحنی $ $ برابر مشتق است لذا برابر است با $m _{2}= \frac{-k}{(x+1) ^{2} } $
حال حل مساله:
اگر دو منحنی در نقطه $( x_{0} , y_{0} ) $ مماس باشند دارای شیب برابر هستند لذا
$m _{1}=m _{2} $ یا $ -1= \frac{-k}{(x_{0}+1) ^{2} } \Rightarrow k=(x_{0}+1) ^{2}$
همچنین نقطه تماس در هر دو منحنی صدق می کند یعنی: $ y_{0}=3-x_{0} $ و
$ y_{0}= \frac{k}{x_{0}+1} $ و با برابر قرار دادن داریم: $3-x_{0}=\frac{k}{x_{0}+1} \Rightarrow k=(3-x_{0})(x_{0}+1) $
حال اگر دو رابطه بدست آمده برای $ k $ را با هم ترکیب کنیم داریم:
$$(3-x_{0})(x_{0}+1) =(x_{0}+1) ^{2} \Rightarrow 3-x_{0}= x_{0}+1 \Rightarrow x_{0} =1$$
و با جایگذاری در یکی از رابطه ها $k=4$ بدست می آید
(دقت کنید که در $x=-1 $ در دامنه تابع $y= \frac{k}{x+1}$ قرار ندارد لذا $x_{0}+1 \neq 0$ پس توانستیم طرفین را بر $(x_{0}+1)$ تقسیم کنیم)
