Question

شرط اين كه خط با معادله ي :$ax+by+c=0$ بر دايره به معادله ي :$x^2+y^2=R^2$ مماس باشد چيست.

Answer 1

اگر معادله خط را در معادله دایره جاگذاری کنیم باید ریشه مکرر داشته باشد. (اینجا رو ببینید)

با فرض اینکه $a,b\neq 0$ با ضرب طرفین معادله دایره در $b^2$ داریم:

$$b^2x^2+b^2y^2=R^2$$

اما $by=-(ax+c)$ با جاگذاری در معادله بالا داریم $b^2x^2+(ax+c)^2=R^2$

بنابراین $(a^2+b^2)x^2+(2ac)x+c^2-R^2=0$

شرط ریشه مضاعف در معادلات درجه دوم این است که $\Delta=0$. یعنی

$$(2ac)^2-4(a^2+b^2)(c^2-R^2)=0$$

با ساده کردن رابطه اخیر به $(a^2+b^2)R^2-b^2c^2=0$ میرسیم. پس شرط مماس بودن این است که مقادیر $a,b,c,R$ در این رابطه صدق کنند.

اگر رابطه را ساده تر کنیم

$$R=\frac{|bc|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

Comments

@fardina
خيلي ممنون
اون لينك رو خوندم فقط ميشه به طور خلاصه بگيد دو منحني:$f(x,y)=0,g(x,y)=0$

در چه حالت مماس هستند ؟
بازم ممنون

---

سلام خواهش میکنم. لطفا سوال جدید ایجاد کنید.
مشابه همون لینکه فکر کنم. باید نقطه $(a, b)$ موجود باشد که $f(a,b)=g(a,b)=0$ و شیب هم در این نقاط برابر باشند. توجه کنید که شیب رو می تونید با استفاده از مشتق توابع ضمنی به دست بیارید.