اگر معادله خط را در معادله دایره جاگذاری کنیم باید ریشه مکرر داشته باشد. (اینجا رو ببینید)
با فرض اینکه $a,b\neq 0$ با ضرب طرفین معادله دایره در $b^2$ داریم:
$$b^2x^2+b^2y^2=R^2$$
اما $by=-(ax+c)$ با جاگذاری در معادله بالا داریم $b^2x^2+(ax+c)^2=R^2 $
بنابراین $(a^2+b^2)x^2+(2ac)x+c^2-R^2=0$
شرط ریشه مضاعف در معادلات درجه دوم این است که $\Delta=0$. یعنی
$$(2ac)^2-4(a^2+b^2)(c^2-R^2)=0$$
با ساده کردن رابطه اخیر به $(a^2+b^2)R^2-b^2c^2=0$ میرسیم. پس شرط مماس بودن این است که مقادیر $a,b,c,R$ در این رابطه صدق کنند.
اگر رابطه را ساده تر کنیم $$R=\frac{|bc|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$
