به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
45 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mirismaili (350 امتیاز)
دوباره دسته بندی کردن توسط mirismaili

ظرفی به حجم $V$ حاوی گازی با فشار $P$ ست. دهانه ظرف دارای سطح مقطع $A$ است و جسمی به همین سطح مقطع و به جرم $m$ روی دهانه آن قرار گرفته (مطابق تصویر) و دستگاه در حالت تعادل است. حجم دهانه در برابر حجم خود لوله قابل صرف‌نظر است. جسم $m$ را اندکی از موضع تعادل خارج می‌کنیم. با تحلیل ابعادی، دوره تناوب نوسانات کوچک جسم را بر حسب $m$ و $V$ و $P$ و $A$ به دست آورید.

(راهنمایی: به استقلال ابعاد طولی در جهات مختلف توجه کنید.)

توضیحات تصویر

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط mirismaili (350 امتیاز)
انتخاب شده توسط mirismaili
 
بهترین پاسخ

چنان‌چه فرض کنیم پاسخ به صورت حاصل‌ضربی از توان‌های داده‌های پرسش در یک ضریب بدون یکا (بدون بُعد) باشد، می‌توانیم بنویسیم:

$$ T = k . m^a A^b V^c P^d $$

که در آن $T$ همان دوره تناوب خواسته شده است و $k$ همان ضریب بدون بعد است که تابع سایر ویژگی‌های فیزیکی دستگاه است (و قرار نیست با تحلیل ابعادی تعیین شود) و $a$ و $b$ و $c$ و $d$ مجهولاتی هستند که باید تعیین کنیم.


بنابراین با تحلیل ابعادیِ دو طرف تساوی خواهیم داشت: $$ [T] = [M]^a [L]^{2b} [L]^{3c} \Big(\frac{[M]}{[T]^{2}[L]}\Big)^d $$

یادآوری ۱: توجه داریم که کمیت فشار ($P$) از بُعد $ \frac{[M]}{[T]^{2}[L]} $ است و کمیت‌های مساحت ($A$) و حجم ($V$)، به ترتیب از بعدهای $[L]^2$ و $[L]^3$ هستند.

یادآوری ۲: $[T]$ بیان‌گر بُعد زمان است که از قضا بُعدِ همان کمیت دوره تناوب ($T$) هم هست (حرف $T$ در این‌جا به صورت مشترک استفاده شده!).

که با ساده کردن سمت راست تساوی و پیچیده کردن سمت چپ آن (!) به عبارت زیر خواهد رسید: $$ [M]^0 [L]^0 [T]^1 = [M]^{a+d} [L]^{2b+3c-d} [T]^{-2d} $$

از آن‌جایی که در مکانیک کلاسیک، سه بعد جرم ($[M]$)، طول ($[L]$) و زمان ($[T]$) کاملاً از یکدیگر مستقل هستند می‌توانیم نتیجه بگیریم که نمای هر یک از آن‌ها در هر دو سمت تساوی باید یکسان باشد. بنابراین می‌توانیم به دستگاه ۳ معادله - ۴ مجهولی زیر برسیم: $$ \begin{cases} [M]: & 0 = a+d \\ [L]: & 0 = 2b+3c-d \\ [T]: & 1 = -2d \end{cases} $$

که از حل آن به نتایج زیر می‌رسیم:

$$ \begin{cases} d = -\frac{1}{2} \\ a = \frac{1}{2} \\ 2b+3c = -\frac{1}{2} \end{cases} $$

دو مجهول از چهار مجهول معلوم شدند‌؛ اما همان‌گونه که انتظار می‌رفت برای معلوم شدن همه مجهول‌ها به حداقل یک معادله دیگر نیاز است.


در این‌جا از راهنمایی آورده شده در پرسش استفاده می‌کنیم. در واقع ما یک شرط «استقلال» هم در بین ابعاد طولی داریم که می‌توانیم با کمک آن یک معادله دیگر هم به دست آوریم.

از آن‌جایی که نیروی حاصل از فشار گاز داخل ظرف (و هم‌چنین فشار هوای بیرون ظرف) در راستای قائم به جرم $m$ وارد می‌شود و از طرفی سطح $A$ یک سطح افقی است، ما «بعد طول» را در راستای محور قائم ($z$) با $[L_z]$ و در راستای محورهای افقی ($x$ و $y$) با $[L_{xy}]$ نشان دهیم و در نظر می‌گیریم که این دو نیز از یکدیگر مستقل هستند.

اکنون یک بار دیگر معادله‌ای را که از فرض نخست‌مان به دست آورده بودیم، از نظر ابعادی تحلیل می‌کنیم: $$ T = k . m^a A^b V^c P^d $$

$$ [T] = [M]^a [L_{xy}]^{2b} \left([L_{xy}]^{2}[L_z]\right)^{c} \Big(\frac{[M][L_z]}{[T]^{2}[L_{xy}]^{2}}\Big)^d $$

یادآوری: توجه داریم که با وجود فرض‌های صورت گرفته، اکنون $A$ از بعد $[L_{xy}]^2$ و $V$ از بعد $[L_{xy}]^{2}[L_z]$ است.

نکته: اما چرا ما بُعد کمیت فشار را به صورت بالا در نظر گرفتیم؟ پاسخ در فرمول و تعریف این کمیت نهفته است. همان‌گونه که می‌دانیم «فشار» نیروی وارد بر واحد سطح است. اما کدام نیرو و کدام سطح؟

نیرویی که در راستای قائم است و سطحی که به صورت افقی گسترده شده (همان $A$). بنابراین نیرو ($F$) از بعد $\frac{[M][L_z]}{[T]^2}$ است و چون $P = \frac{F}{A}$ پس بعد کمیت فشار می‌شود $\frac{[M][L_z]}{[T]^{2}[L_{xy}]^{2}}$.

تمام تفاوتی که در این‌جا (نسبت به حالت قبل) ظاهر می‌شود این است که دیگر $L_z$ در صورت کسر، با $L_{xy}$ در مخرج کسر یکی گرفته نمی‌شود.

می‌توانیم مسئله را حل شده فرض کنیم! اکنون چهار بعد مستقل داریم که به ما چهار معادله می‌دهند که به طور معمول برای کشف چهار مجهول کافی است.


محاسبات را مشابه قبل می‌نویسیم: $$ [M]^0 [L_{xy}]^0 [L_z]^0 [T]^1 = [M]^{a+d} [L_{xy}]^{2b+2c-2d} [L_z]^{c+d} [T]^{-2d} $$

$$ \Rightarrow \begin{cases} [M]: & 0 = a+d \\ [L_{xy}]: & 0 = 2b+2c-2d \\ [L_z]: & 0 = c+d \\ [T]: & 1 = -2d \end{cases} $$

که از حل آن به نتایج زیر می‌رسیم:

$$ \begin{cases} d = -\frac{1}{2} \\ a = \frac{1}{2} \\ c = \frac{1}{2} \\ b = -1 \end{cases} $$

بنابراین: $$ T = k . m^\frac{1}{2} A^{-1} V^\frac{1}{2} P^{-\frac{1}{2}} = k \sqrt{ \frac{mV}{PA^2} } $$


با مراجعه به صفحه مربوط به آزمایش Rüchardt در وب‌سایت WikiPedia مشاهده می‌کنیم که چنان‌چه فرایند بی‌دررو باشد، مقدار ضریب $k$ برای گاز ایده‌آل برابر است با: $$ k = \frac{2\pi}{ \sqrt{ \gamma } } $$

که $\gamma$ همان نسبت ظرفیت‌های گرمایی (Heat Capacity Ratio) است: $$ \gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{c_P}{c_V} $$

و در مورد گاز ایده‌آل، تنها تابع دمای گاز است.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...