به چند طریق ۵ نفر می توانند صف تشکیل دهند به شرطی که دوتای آنها در کنار هم قرار نگیرند؟

Question

به چند طریق ۵ نفر می‌توانند صف جهت سوارشدن به اتوبوس تشکیل دهند؟ اکنون اگر دو نفر از این ۵ نفر در صف اتوبوس قبول نکنند که پشت سرهم قرار گیرند، چند طریق وجود دارد؟

Comments

رمضانی@ خب تمام حالاتی که دو نفر(البته احتمالا منظورتون دو نفر مخصوص است)را که  پشت سر هم قرار می گیرند از تمام حالاتی که این 5 نفر می توانند در صف پشت سرهم قرار  بگیرند را کم کنید .تلاش کنید

Answer 1

راه اول :

$3$ نفر به جز آن $2$ نفری که قرار است کنار هم نباشند را در یک صف به $3!$ طریق می توان کنار هم قرار داد حال بین این $3$ نفر $4$ جای خالی وجود دارد . به $ \binom{4}{2} $ طریق میتوان $2$ جای خالی از $4$ جای خالی را برگزید تا آن $2$ نفر در آن $2$ جای خالی قرار گیرند و سپس به $2!$ طریق میتوان $2$ نفر را در آن $2$ جای خالی قرار داد پس طبق اصل ضرب تعداد کل حالت ها برابر $3! \times \binom{4}{2} \times 2!=72$ است.

راه دوم :

تعداد کل حالاتی که $5$ نفر می توانند کنار هم قرار گیرند $5!=120$ است . حال تعداد حالاتی را می شماریم که آن $2$ نفر خاص کنار هم باشند . $2$ نفر را در یک بسته کنار هم قرار می دهیم و این بسته را $1$ نفر حساب میکنیم حال $1$ بسته به همراه $3$ نفر دیگر داریم که میشوند $4$ نفر . این $4$ نفر به $4!$ طریق می توانند کنار هم قرار گیرند . ( بسته هر جایی که قرار گیرد آن $2$ نفر حتما کنار هم هستند ) حال $2$ نفر داخل بسته به $2!$ طریق میتوانند کنار هم باشند پس طبق اصل ضرب تعداد حالاتی که $5$ نفر میتوانند کنار هم قرار گیرند به طوری که آن $2$ نفر خاص کنار هم باشند برابر $4!×2!=48$ است .

پس تعداد حالاتی که $5$ نفر میتوانند کنار هم قرار گیرند به طوری که آن $2$ نفر خاص کنار هم نباشد طبق اصل متمم برابر $120-48=72$ است .