توجه کنید که هر تبدیلِ هندسی‌ای با ماتریس‌ها بیان نمی‌شود! برای نمونه تبدیلِ زیر را در نظر بگیرید که هر نقطه از صفحهٔ مختصات را به نقطه‌ای دیگر با طول یکسان ولی عرضِ به‌توانِ دو رسیده می‌نگارد.
$$\begin{cases}
T_1 &\colon\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^2\\
& (x,y)\longmapsto (x,y^2)
\end{cases}$$
اگر با نمادگذاری مشابه با خودتان پیش برویم و مختصات قدیم را با $(X,Y)$ و مختصات جدید را با $(X',Y')$ نشان دهیم، آنگاه می‌توانیم تبدیل بالا را به شکلِ زیر هم نمایش دهیم.
$$T_1\colon\begin{cases}
X' &= X\\
Y' & =Y^2
\end{cases}$$
چرا می‌گوئیم که نمی‌توان این تبدیل را با ضرب در یک ماتریس بین کرد؟ چون هر تبدیلی که با ضرب‌کردن در یک ماتریس بدست بیاید، یک خط را به یک خط دیگر می‌نگارد. اما $T_1$ خط را الزاما به خط نمی‌نگارد. برای نمونه خطِ نیمسازِ یک‌چهارمِ یکُم و سوم را در نظر بگیرید. این خط را با $A$ نمایش دهید. این خط به شکل زیر تعریف می‌شود.
\begin{align}
A &= \lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=x\rbrace\\
&= \lbrace (x,x)\mid x\in\mathbb{R}\rbrace
\end{align}
نخست $T_2$ را بر روی $A$ اثر می‌دهیم تا ببینیم این تبدیل این خط را به چه شکلی می‌نگارد.
\begin{align}
T_1(A) &= \lbrace T_1(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\rbrace\\
&= \lbrace (x,x^2)\mid x\in\mathbb{R}\rbrace\\
&= \lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=x^2\rbrace
\end{align}
همان‌گونه که دیدید، نگارهٔ (تصویرِ) خط‌مان پس از اثر دادن $T_1$ برابر با نمودارِ تابعِ $y=x^2$ شد که یک خط نیست بلکه یک سهمی است.
ولی چرا تبدیل‌های تعریف‌شده بوسیلهٔ ضرب با یک ماتریس نمی‌توانند این خط را به یک سهمی ببرند؟ خیلی ساده. تبدیلِ $T_2$ را یک چنین تبدیلی بگیرید. پس باید عددهای حقیقیِ $a$ و $b$ و $c$ و $d$ ای یافت شوند که
$$T_2\colon\begin{cases}
X' &= aX+bY\\
Y' &= cX+dY
\end{cases}$$
پس نگارهٔ $A$ پس از اثر دادنِ $T_2$ برابر می‌شود با
\begin{align}
T_2(A) &= \lbrace T_2(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\rbrace\\
&= \lbrace (ax+bx, cx+dx)\mid x\in\mathbb{R}\rbrace\\
&= \lbrace \big((a+b)x,(c+d)x\big)\mid x\in\mathbb{R}\rbrace\\
&= \begin{cases}
\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x=0\rbrace &;\;a+b=0\\
\lbrace (x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y=\frac{c+d}{a+b}x\rbrace &;\;a+b\neq 0
\end{cases}
\end{align}
پس نه تنها چنین تبدیلی خط نیمساز یک‌چهارمِ یکُم و سوم را به یک خط می‌برد، بلکه آن را فقط به خط‌های گذرنده از مبدأ می‌برد.
پس نکتهٔ نخست، هر تبدیلی با ماتریس‌ها تعریف نمی‌شود.
و اما نکتهٔ دوم، تبدیل‌هایی که با ضرب ماتریس به شکلی که شما اشاره کردید، یعنی
$\begin{bmatrix}
X'\
Y'
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a & b\
c & d
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
X\
Y
\end{bmatrix}$
تعریف شده‌باشند، همواره خط‌های گذرنده از مبدأ را به خط‌های گذرنده از مبدأ می‌برند. چرا؟ چون نگارهٔ نقطهٔ $(0,0)$ توسط آنها همیشه $(0,0)$ می‌شود بدون اینکه شرطِ خاصی روی $a$ و $b$ و $c$ و $d$ نیاز باشد.
اکنون به تبدیلی که در آخر پرسش‌تان اشاره کردید فکر کنید. به نظر خودتان آیا بازتاب نسبت به خطِ $y=2x+1$ مبدأ را به خود مبدأ می‌نگارد؟ خیر. چرا؟ چون این بازتاب، یک نقطه از یک سمتِ این خط را به نقطه‌ای در سمتِ دیگر خط می‌تاباند و چون مبدأ روی این خط قرار ندارد، پس تصویرش نمی‌تواند روی خودش بیفتد.
تبدیل‌هایی که با ضرب یک ماتریس نتیجه می‌شوند را تبدیل‌های خطی می‌گوئیم. تبدیلِ خطی‌ای که مبدأ را به مبدأ بنگارد را تبدیلِ خطیِ همگن می‌گوئیم. بازتابی که شما خواسته‌اید یک تبدیل همگن نیست. اما تبدیل‌های خطیِ ناهمگن چگونه تعریف می‌شوند؟ آنها نیز با ضرب ماتریس تعریف می‌شوند ولی به مختصات نقطه‌ها یک عددِ ۱ می‌افزائیم (تعبیرهایی برای این کار در هندسهٔ جبری و هندسهٔ تصویری می‌توانید بیابید). در این حالت به جای ماتریس دو در دو، از ماتریس سه در سه استفاده می‌شود که سطر آخرش صفر و صفر و یک است. پس شکلِ کلیِ تبدیل‌های خطی که تبدیل‌های ناهمگن را هم در بر بگیرد به شکل زیر است.
$$\begin{bmatrix}
X'\\
Y'\\
1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
a & b & 1\\
c & d & 1\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
X\\
Y\\
1
\end{bmatrix}$$
توجه کنید که تبدیل‌های خطیِ همگن زیرمجموعه‌ای از این تبدیل‌ها می‌شود چون به راحتی می‌توانید قرار دهید $c=f=0$ و به همان تعریف قبلی برسید.
من در اینجا ضابطهٔ تبدیلِ خطیِ ناهمگنِ مربوط به بازتاب نسبت به خطِ $y=x+1$ را بدست می‌آورم. خودتان می‌توانید به عنوان یک تمرین ساده ضابطهٔ بازتاب نسبت به خطِ $y=2x+1$ را بدست آورید.
تبدیلی که به دنبالِ ماتریسش هستیم را با $T_3$ نمایش دهید.
$$T_3\colon\begin{cases}
X' &= aX+bY+c\\
Y' &= dX+eY+f
\end{cases}$$
خیلی راحت با یک ترسیم بر روی یک صفحهٔ چهارخانه‌ای باید بتوانید بفهمید که نگارهٔ $(0,0)$ بوسیلهٔ این بازتاب برابر با $(-1,1)$ می‌شود. پس با یک جایگذاریِ ساده داریم
$$\left\lbrace\begin{array}{l}
-1=c\\
1=f
\end{array}\right.$$
چون دو نقطهٔ $(0,1)$ و $(1,0)$ هر دو بر روی این خط هستند، پس بازتاب هر دو خودشان خواهد شد. به ترتیب این دو مشاهده را جایگذاری می‌کنیم.
$$\left\lbrace\begin{array}{l}
0=b-1\\
1=e+1
\end{array}\Longrightarrow\begin{array}{l}
b=1\\
e=-1
\end{array}\right.$$
$$\left\lbrace\begin{array}{l}
-1=a-1\\
0=-d+1
\end{array}\Longrightarrow\begin{array}{l}
a=0\\
d=1
\end{array}\right.$$
پس ماتریسِ مربوط به $T_3$ برابر است با
$\begin{bmatrix}
0 & 1 & -1\
1 & 0 & 1\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}$
. برای اینکه خیالتان راحت‌تر شود یک آزمون (تست) انجام می‌دهیم. بازتابِ نقطهٔ $(1,0)$ نسبت به خط $y=x+1$ برابر با $(-1,2)$ است. اگر بازتاب واقعا با $T_3$ با ماتریسی که یافتیم تعریف شده‌باشد، پس باید ضرب ماتریسی که یافتیم در بردارِ ستونیِ
$\begin{bmatrix}
1\
0\
1
\end{bmatrix}$
برابر با بردارِ ستونیِ
$\begin{bmatrix}
-1\
2\
1
\end{bmatrix}$
شود. می‌توانید این ضرب را انجام دهید و ببینید که درست است.
و اما ایستگاه پایانی. فرض کنید می‌خواهیم بازتابِ خطِ $y=x$ را نسبت به خطِ $y=x+1$ بیابیم. اگر صفحهٔ مختصات و شکل این خط‌ها را سریع در ذهن‌تان ایجاد کنید، احتمالا متوجه می‌شوید که پاسخ باید $y=x+2$ شود. به هر حال، بیاییم این بازتاب را با محاسبه بیابیم. کاری به جز همان عملیات ابتدای این پاسخ نیاز نیست. ابتدا پارامتری‌شدهٔ خط را می‌نویسیم که پیش‌تر در ابتدای پست این را بدست آوردیم $\lbrace (x,x)\mid x\in\mathbb{R}\rbrace$. و سپس تبدیل را اثر می‌دهیم. توجه کنید که یک مختص اضافه برای اثر دادنِ $T_3$ نیاز داریم. پس به جای استفاده از $(x,x)$ از $(x,x,1)$ استفاده می‌کنیم.
$$T_3(x,x,1)=\begin{bmatrix}
0 & 1 & -1\\
1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
x\\
x\\
1
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
x-1\\
x+1\\
1
\end{bmatrix}$$
یا می‌توانستیم از شکلِ هم‌ارزِ $T_3$ استفاده کنیم. یعنی ابتدا $T_3$ را به شکلِ زیر بازنویسی کنیم که از ضرب کردن ماتریس‌مان در یک نقطهٔ دلخواه $(X,Y,1)$ بدست آمده است.
$$T_3\colon\begin{cases}
X' &= Y-1\\
Y' &= X+1\\
\end{cases}$$
و سپس
\begin{align}
T_3(A) &= \lbrace T_3(x,x)\mid x\in\mathbb{R}\rbrace\\
&= \lbrace (x-1,x+1)\mid x\in\mathbb{R}\rbrace
\end{align}
هر دو یک چیز هستند. در پایان توجه کنید که مختص‌های دوم دقیقا ۲ واحد بعلاوهٔ مختص‌های نخست هستند که دقیقا خطِ $y=x+2$ را تشکیل می‌دهند.
