بله این ها همه تعریف هستند درست ! شما می توانید هزاران تعریف بیاورید به شرط آنکه خوش تعریف و مجموعه ماتریس ها تحت آن عمل بسته باشد .
اما باید بدانیم چرا جمع و ضرب ماتریس ها را به این شکل تعریف می کنیم ؟!
ابتدا با مسئله زیر دلیل نحوه جمع کردن دو ماتریس را توجیه می کنیم :
در یک شهر 2 مدرسه وجود دارد با نام های $A$ و $B$ . در مدرسه $A$ 40 دانش آموز پسر در رشته فوتبال و 20 دانش آموز پسر در رشته بسکتبال و 30 دانش آموز دختر در رشته فوتبال و 15 دانش آموز دختر در رشته بسکتبال فعالیت می کنند . در مدرسه $B$ 20 دانش آموز پسر در رشته فوتبال و 20 دانش آموز پسر در رشته بسکتبال و 40 دانش آموز دختر در رشته فوتبال و
25 دانش آموز دختر در رشته بسکتبال فعالیت می کنند . حال تعیین کنید جمعا در هردو مدرسه چند پسر در رشته فوتبال و چند پسر در رشته بسکتبال و چند دختر در رشته فوتبال و چند دختر در رشته بسکتبال فعالیت دارند؟
جواب : ماتریس های $A , B $ را به صورت زیر تعریف می کنیم :
$$ A =\begin{bmatrix}40 & 20 \\30 & 15 \end{bmatrix} $$
$$ B = \begin{bmatrix}20 & 20 \\40 & 25 \end{bmatrix} $$
در هر دو ماتریس سطر اول مربوط به پسرها و سطر دوم مربوط به دخترها است و ستون اول مربوط به رشته فوتبال و ستون دوم مربوط به رشته بسکتبال است . حال دو ماتریس را با هم جمع می کنیم :
$$ A + B =\begin{bmatrix}40 + 20 &20 + 20 \\30 + 40 & 15 + 25 \end{bmatrix} $$
$$ A + B =\begin{bmatrix}60 &40 \\70 & 40 \end{bmatrix} $$پس جمعا در هر دو مدرسه 60 پسر در رشته فوتبال و 40 پسر در رشته بسکتبال و 70 دختر در رشته فوتبال و 40 دختر در رشته بسکتبال فعالیت دارند .حال با یک مسئله دیگر دلیل نحوه ضرب کردن دو ماتریس را توجیه می کنیم :
در یک مدرسه دو کلاس $A , B$ وجود دارد . کلاس $ A $ 15 دانش آموز پسر و 20 دانش آموز دختر دارد و کلاس $ B $ 10دانش آموز پسر و 25 دانش آموز دختر دارد . هر دانش آموز پسر 5 کتاب و 3 خودکار و هردانش آموز دختر 4 کتاب و 5 خودکار دارد . حال تعیین کنید دانش آموزان کلاس $ A $ جمعا چند کتاب و چند خودکارب دارند . و همچنین دانش آموزان کلاس $ B $جمعا چند کتاب و چند خودکار دارند ؟
جواب : دو ماتریس $M , N $ را به صورت زیر تعریف می کنیم :
$$ M = \begin{bmatrix}15 & 20 \\10 & 25 \end{bmatrix} $$
در این ماتریس سطر اول مربوط به کلاس $A$ و سطر دوم مربوط به کلاس $B$است و ستون اول مربوط به پسرها و ستون دوم مربوط به دختر ها است .
$$ N =\begin{bmatrix}5 & 3 \\4 & 5 \end{bmatrix} $$
در این ماتریس سطر اول مربوط به پسرها وسطر دوم مربوط به دخترها و ستون اول مربوط به کتاب ها و ستون دوم مربوط به خودکار هاست . حال دو ماتریس را ضرب می کنیم :
$$ M \times N = \begin{bmatrix}15 \times 5 + 20 \times 4 & 15 \times 3 + 20 \times 5 \\10 \times 5 + 25 \times 4 & 10 \times 3 + 25 \times 5 \end{bmatrix} $$
که میشود :
$ M \times N = \begin{bmatrix}155 & 145 \\150 & 155 \end{bmatrix} $
پس دانش آموزان کلاس A جمعا 155 کتاب و 145خودکار دارند و دانش آموزان کلاس B جمعا 150 کتاب و 155 خودکار
دارند .
