به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
1,482 بازدید
در دبیرستان توسط asal4567

ایا اثباتی برای این چند قضیه وجود دارد در جمع و تفریق دوماتریس باید دو ماتریس هم مرتبه باشند وبرای جمع وتفریق درایه های نظیر به نظیر را بایکدیگر جمع وتفریق کنیم! برای ضرب عدد حقیقی با یک ماتریس عدد حقیقی را در همه ی درایه ها ضرب میکنیم..! و همینطور در ضرب ماترس ها باهم..!!

توسط fardina
+1
اینها همگی تعریف هستند.
توسط asal4567
+1
@fardina
ضرب ماتریس ها هم تعریفه؟؟؟
توسط fardina
+1
بله تعریفه. کلا وقتی ما یک مجموعه معرفی میکنیم با چند تا عمل روی آن مجموعه باید دقیق بیان کنیم که منظورمون از اون عمل چیه. مثلا اگر مجموعه ی همه ی توابعی حقیقی روی اعداد حقیقی را در نظر بگیرید در اینصورت وقتی ما از جمع دو تابع حرف میزنیم باید از قبل این عمل تعریف شده باشد. یا عمل ترکیب توابع، ضب توابع و عمل های دیگه. و مثلا هیچکس نمیگه عمل ترکیب توابع رو اثبات کنید! این چیزیه که تعریف شده. شما هم می توانین عمل جدیدی را تعریف کنید!

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط کیوان عباس زاده

بله این ها همه تعریف هستند درست ! شما می توانید هزاران تعریف بیاورید به شرط آنکه خوش تعریف و مجموعه ماتریس ها تحت آن عمل بسته باشد . اما باید بدانیم چرا جمع و ضرب ماتریس ها را به این شکل تعریف می کنیم ؟! ابتدا با مسئله زیر دلیل نحوه جمع کردن دو ماتریس را توجیه می کنیم : در یک شهر 2 مدرسه وجود دارد با نام های $A$ و $B$ . در مدرسه $A$ 40 دانش آموز پسر در رشته فوتبال و 20 دانش آموز پسر در رشته بسکتبال و 30 دانش آموز دختر در رشته فوتبال و 15 دانش آموز دختر در رشته بسکتبال فعالیت می کنند . در مدرسه $B$ 20 دانش آموز پسر در رشته فوتبال و 20 دانش آموز پسر در رشته بسکتبال و 40 دانش آموز دختر در رشته فوتبال و 25 دانش آموز دختر در رشته بسکتبال فعالیت می کنند . حال تعیین کنید جمعا در هردو مدرسه چند پسر در رشته فوتبال و چند پسر در رشته بسکتبال و چند دختر در رشته فوتبال و چند دختر در رشته بسکتبال فعالیت دارند؟

جواب : ماتریس های $A , B $ را به صورت زیر تعریف می کنیم :

$$ A =\begin{bmatrix}40 & 20 \\30 & 15 \end{bmatrix} $$

$$ B = \begin{bmatrix}20 & 20 \\40 & 25 \end{bmatrix} $$ در هر دو ماتریس سطر اول مربوط به پسرها و سطر دوم مربوط به دخترها است و ستون اول مربوط به رشته فوتبال و ستون دوم مربوط به رشته بسکتبال است . حال دو ماتریس را با هم جمع می کنیم :

$$ A + B =\begin{bmatrix}40 + 20 &20 + 20 \\30 + 40 & 15 + 25 \end{bmatrix} $$

$$ A + B =\begin{bmatrix}60 &40 \\70 & 40 \end{bmatrix} $$پس جمعا در هر دو مدرسه 60 پسر در رشته فوتبال و 40 پسر در رشته بسکتبال و 70 دختر در رشته فوتبال و 40 دختر در رشته بسکتبال فعالیت دارند .حال با یک مسئله دیگر دلیل نحوه ضرب کردن دو ماتریس را توجیه می کنیم :

در یک مدرسه دو کلاس $A , B$ وجود دارد . کلاس $ A $ 15 دانش آموز پسر و 20 دانش آموز دختر دارد و کلاس $ B $ 10دانش آموز پسر و 25 دانش آموز دختر دارد . هر دانش آموز پسر 5 کتاب و 3 خودکار و هردانش آموز دختر 4 کتاب و 5 خودکار دارد . حال تعیین کنید دانش آموزان کلاس $ A $ جمعا چند کتاب و چند خودکارب دارند . و همچنین دانش آموزان کلاس $ B $جمعا چند کتاب و چند خودکار دارند ؟

جواب : دو ماتریس $M , N $ را به صورت زیر تعریف می کنیم :

$$ M = \begin{bmatrix}15 & 20 \\10 & 25 \end{bmatrix} $$ در این ماتریس سطر اول مربوط به کلاس $A$ و سطر دوم مربوط به کلاس $B$است و ستون اول مربوط به پسرها و ستون دوم مربوط به دختر ها است .

$$ N =\begin{bmatrix}5 & 3 \\4 & 5 \end{bmatrix} $$ در این ماتریس سطر اول مربوط به پسرها وسطر دوم مربوط به دخترها و ستون اول مربوط به کتاب ها و ستون دوم مربوط به خودکار هاست . حال دو ماتریس را ضرب می کنیم :

$$ M \times N = \begin{bmatrix}15 \times 5 + 20 \times 4 & 15 \times 3 + 20 \times 5 \\10 \times 5 + 25 \times 4 & 10 \times 3 + 25 \times 5 \end{bmatrix} $$ که میشود : $ M \times N = \begin{bmatrix}155 & 145 \\150 & 155 \end{bmatrix} $ پس دانش آموزان کلاس A جمعا 155 کتاب و 145خودکار دارند و دانش آموزان کلاس B جمعا 150 کتاب و 155 خودکار دارند .

توسط behruz
@keyvan1371
چه دلیلی دارید که در ضرب به عنوان مثال ماتریس M را بصورت سطری و درایه های مربوط به سطرها را در ماتریس N بصورت ستونی قرار بدید(چرا سطری مثل M قرار نمیدید)!!!! در حالی که در جمع هر دو ماتریس A و B را بصورت سطری قرار دادیم.
در واقع این استدلال شما منطقی نیست و تمام چیزهایی که در ضرب ماتریس ها اعمال می کنیم تنها از تعریف ضرب ماتریس های حاصل می گردد و دیگر هیچ!!

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...