روش تکرار پیکارد برای حلکردن برابریهای انتگرالی (معادلات انتگرالی) بسیار ساده است. فرض کنید برابریِ انتگرالیِ شما به شکل کلیِ زیر است؛
$$y(x)=f(x)+g(x)\int_a^bK(x,t)y(t){\rm d}t$$
در این صورت با فرض حلپذیریِ این برابری با روش تکرار پیکارد (برای دیدن شرطهای حلپذیری بوسیلهٔ این روش به کتابهای مربوط نگاه کنید)، آنگاه شما باید یک دنباله از تابعها به شکل زیر محاسبه کنید که عضو یکُم خود تابع $f(x)$ است، پس
$$y_0(x)=f(x)$$
و عضوهای بعدی به ازای هر $n\in\mathbb{N}$ به صورت بازگشتی از رابطهٔ زیر محاسبه میشوند.
$$y_n(x)=f(x)+g(x)\int_a^bK(x,t)y_{n-1}(t){\rm d}t$$
اکنون به سراغ پرسش شما برویم. در پرسش شما داریم
$$\begin{align}
f(x) &= \sin(x)\\
g(x) &= \lambda\\
K(x,t) &= \sin(x+t)
\end{align}$$
پس دنبالهٔ تابعهایی که میخواهیم برابر میشوند با
$$\begin{align}
y_0(x) &= \sin(x)\\
y_1(x) &= \sin(x)+\lambda\int_0^{2\pi}\sin(x+t)\sin(t){\rm d}t=\sin(x)+\lambda\pi\cos(x)\\
y_2(x) &= \sin(x)+\lambda\int_0^{2\pi}\sin(x+t)y_1(t){\rm d}t=\sin(x)+\lambda\pi\cos(x)+\lambda^2\pi^2\sin(x)\\
y_3(x) &= \sin(x)+\lambda\pi\cos(x)+\lambda^2\pi^2\sin(x)+\lambda^3\pi^3\cos(x)\\
\vdots &= \\
y_n(x) &= \sum_{i=0}^n(\lambda\pi)^i\Big(\frac{1+(-1)^i}{2}\sin(x)+\frac{1+(-1)^{i+1}}{2}\cos(x)\Big)
\end{align}$$
پس شکل نهاییِ $y(x)$ که حد این دنبالهاست برابر میشود با
$$y(x)=\Big(\sum_{i=0}^\infty(\lambda\pi)^{2i}\Big)\sin(x)+\Big(\sum_{i=0}^\infty(\lambda\pi)^{2i+1}\Big)\cos(x)$$
در نتیجه در صورت همگرا بودن سریهای آمده در ضریبها شکل نهایی پاسخمان همانند زیر میشود که در آن $a$ و $b$ دو عدد هستند.
$$y(x)=a\sin(x)+b\cos(x)$$
شرط همگرایی دو سریِ آمده که به شکل سری هندسی هستند برابر است با
$$|\lambda|<\frac{1}{\pi}$$
اکنون برای یک مقدار که در این شرط صدق کند برای نمونه $\lambda=\frac{1}{2\pi}$ داریم
$$a=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3},\quad b=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}$$
پس انتظار داریم که $y=\frac{4}{3}\sin(x)+\frac{2}{3}\cos(x)$ یک پاسخ برای برابریِ
$$y(x)=\sin(x)+\int_0^{2\pi}\sin(x+t)y(t){\rm d}t$$
باشد. برای چک کردن درستی این انتظار، آن را در سمت راست برابری جایگذاری میکنیم که پس از محاسبهٔ انتگرال و سادهسازی باید به خود این تابع برسیم.
$$\begin{array}{l}
sin(x)+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin(x+t)\Big(\frac{4}{3}\sin(x)+\frac{2}{3}\cos(x)\Big){\rm d}t \\
= \sin(x)+\frac{1}{2\pi}\Big(\frac{2\pi\sin(x)}{3}+\frac{4\pi\cos(x)}{3}\Big)\\
= \frac{4}{3}\sin(x)+\frac{2}{3}\cos(x)
\end{array}$$
