محاسبه حد انتگرال:
$$\lim_{t\to 0} \int _0^ {2 \pi } \frac{ | \sin(x+t)-\sin x | }{ | t | }$$
فرض کنید $f(x) = \sin x$. از ما خواسته شده است که حد زیر را محاسبه کنیم:
$$ \lim_{t \to 0} \int_0^{2\pi} \frac{|\sin(x+t) - \sin x|}{|t|} dx $$
داریم:
$$ \frac{\sin(x+t) - \sin x}{t} = \frac{2 \cos(x+t/2) \sin(t/2)}{t} $$
وقتی $t \to 0$، داریم $\frac{\sin(t/2)}{t/2} \to 1$، بنابراین:
$$ \lim_{t \to 0} \frac{\sin(x+t) - \sin x}{t} = \cos x $$
میتوانیم انتگرال را به صورت زیر بازنویسی کنیم:
$$ \lim_{t \to 0} \int_0^{2\pi} \left| \frac{\sin(x+t) - \sin x}{t} \right| dx $$
از آنجا که $\frac{\sin(x+t) - \sin x}{t} \to \cos x$ وقتی $t \to 0$، میتوانیم انتظار داشته باشیم که:
$$ \lim_{t \to 0} \int_0^{2\pi} \left| \frac{\sin(x+t) - \sin x}{t} \right| dx = \int_0^{2\pi} |\cos x| dx $$
میتوانیم این را با استفاده از قضیه همگرایی مسلط توجیه کنیم.
فرض کنید $g_t(x) = \frac{\sin(x+t) - \sin x}{t}$. سپس $g_t(x) \to \cos x$ وقتی $t \to 0$.
با استفاده از قضیه مقدار میانگین، یک $c$ بین $x$ و $x+t$ وجود دارد به طوری که:
$$ \frac{\sin(x+t) - \sin x}{t} = \cos c $$
بنابراین، $|g_t(x)| \le 1$ برای همه $x$ و $t$.
از آنجا که تابع ثابت 1 در بازه $[0, 2\pi]$ انتگرالپذیر است، میتوانیم قضیه همگرایی مسلط را اعمال کنیم تا به دست آوریم:
$$ \lim_{t \to 0} \int_0^{2\pi} \left| \frac{\sin(x+t) - \sin x}{t} \right| dx = \int_0^{2\pi} \lim_{t \to 0} \left| \frac{\sin(x+t) - \sin x}{t} \right| dx = \int_0^{2\pi} |\cos x| dx $$
حالا محاسبه میکنیم:
$$ \int_0^{2\pi} |\cos x| dx = \int_0^{\pi/2} \cos x dx - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos x dx + \int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos x dx = 1 - (-2) + 1 = 4 $$
پاسخ نهایی: پاسخ نهایی $\boxed{4}$ است.
