با استفاده از تغییرمتغیر حل کنید. x^2yd^2y/dx^2=(xdy/dx-y)-

Question

با استفاده از تغییرمتغیر حل کنید. $(xdy/dx-y)^2=-x^2yd^2y/dx^2$

<

math> تلاش من : با تغییرمتغیر$ y^2=u$مسئله را حل کردم ولی به نتیجه نرسیدم.

Answer 1

از طرفین تساوی مشتق بگیرید:

$(x \frac{dy}{dx} -y)^2=-x^2y \frac{d^2y}{dx^2} \Rightarrow (xy' -y)^2=-x^2y y' '$

$ \Rightarrow 2( y'+x y' '- y' )(xy'-y)=-2xy y' '-x^2 y'y''-x^2y y'''$

$ \Rightarrow 2x^2y'y''-2xyy''=-2xy y' '-x^2 y'y''-x^2y y''' \Rightarrow 3x^2y'y''=-x^2yy''' \wedge 2x^2 \neq 0$

$ \Rightarrow \frac{y'''}{y''}=-3\frac{y'}{y} \Rightarrow Lny''+C_1=-3Lny=Lny^{-3}+C_1 \Rightarrow Lny''y^3 =C_1$

$\Rightarrow y''y^3=e^{C_1}$

از اینجا به بعد معادله به کمک سریها حل می شود.

$ \Box $