به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
145 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط mahdiahmadileedari (1,123 امتیاز)
ویرایش شده توسط mahdiahmadileedari

نشان دهید که مینیمم مطلق $ 3x^{\ln x} $ برابر 3 است.

از طرفین لگاریتم گرفتم. با استفاده از مشتق‌گیری نتوانستم نقطه بحرانی را بیابم. مشکلم در یافتن نقاط بحرانی است.

توسط mahdiahmadileedari (1,123 امتیاز)
بله. ممنونم. من از$استفاده کردم اما بین lnوx همخوانی نبود
توسط good4us (5,368 امتیاز)
ویرایش شده توسط good4us
+1
mahdiahmadileedari@ درقسمت *پاسخ* ازموارد بالا روی آیکون  $ x^{2} $  بزنید محلی که برای شما آماده می کند باکمک دیگر قسمت ها شروع به تایپ کنید . ضمنا برای عنوان قسمتی که بین دلارها در پاسخ نوشته اید به همراه فقط دلارها را کپی کنید ودر عنوان قرار دهید
توسط good4us (5,368 امتیاز)
نمونه
در قسمت پاسخ وقتی روی$ x^{2} $که بزنید محلی که ظاهر میشود بین دلارها مثلا x_{k} بزنید به جای x هرعبارتی بنویسید پایه و به جایk توان به نمایش در می آید .
توسط mahdiahmadileedari (1,123 امتیاز)
بسیار سپاسگزارم
توسط mahdiahmadileedari (1,123 امتیاز)
مشکل من در یافتن $x=1$است.لطف کنید برایم بنویسید.

3 پاسخ

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (14,034 امتیاز)
انتخاب شده توسط mahdiahmadileedari
 
بهترین پاسخ

توجه کنید که دامنهٔ تابع‌تان $(0,\infty)$ است. احتمالا در گرفتن مشتق از تابع‌تان مشکل دارید. برای اینکه نیاز به حفظ فرمول اضافی نداشته باشید به این نکته توجه کنید که $x=e^{\ln(x)}$. پس

$$\begin{array}{l} f(x)=3x^{\ln(x)}=3(e^{\ln(x)})^{\ln(x)}=3e^{(\ln(x))^2}\\ \begin{array}{ll} \Longrightarrow f'(x) & =3\big((\ln(x))^2\big)'e^{(\ln(x))^2}\\ & =3\times2\ln(x)\big(\ln(x)\big)'e^{(\ln(x))^2}\\ & =6\ln(x)\frac{1}{x}e^{(\ln(x))^2}\\ & =\frac{6x^{\ln(x)}\ln(x)}{x} \end{array} \end{array}$$

اکنون چه زمانی $\frac{6x^{\ln(x)}\ln(x)}{x}$ صفر می‌شود؟ (دوباره توجه داشته باشید که روی $(0,\infty)$ صحبت می‌کنیم). چند عبارت داریم که در ه ضرب شده‌اند $\frac{1}{x}$ و $x^{\ln(x)}$ که همواره مثبت هستند بر این دامنه پس می‌ماند $\ln(x)=0$ که به شما $x=1$ را می‌دهد. به یاد داشته باشید که این تابع افزایشی اکید و پیوسته است، پس یک به یک نیز است در نتیجه در صورت داشتن نقطه‌ای در دامنه که صفر را بپوشاند، آن نقطه یکتاست و از پیش می‌دانید که در $x=1$ صفر می‌شود.

پس مجموعهٔ نقطه‌هایی که برای جستجوی بیشینه و کمینهٔ تابع‌تان نیاز دارید ابتدا و انتهای دامنه و این نقطه‌ای است که یافتید.

$$\begin{array}{l} \lim_{x\to 0}f(x)=+\infty\\ f(1)=3\\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty \end{array}$$

پس شما هیچ بیشینه‌ای ندارید ولی یک کمینه (اکید) دارید.

توسط mahdiahmadileedari (1,123 امتیاز)
ممنونم از لطف شما.خودم که دوباره حل کردم به این نتیجه رسیدم. بار اول یک جا اشتباه کرده بودم.
+3 امتیاز
توسط good4us (5,368 امتیاز)

دامنه تابع$ y= 3x^{lnx} $ بازه$ \big(0,+ \infty \big) $ است.

اگر از طرفین ln بگیریم داریم: $ln y=ln3+ (lnx)^{2} $ حال از طرفین مشتق میگیریم:

$ \frac{y'}{y}= \frac{2lnx}{x} $

باقرار دادن $ 3x^{lnx} $به جای $y$ داریم: $y'= \frac{6x^{lnx}lnx}{x} $

درصورتی که مشتق را برابر صفر قرار دهیم خواهیم داشت $lnx=0 \Rightarrow x=1$

$(\frac{6x^{lnx}}{x}>0)$

از آنجاییکه وقتی $x$به سمت $0^+$و همچنین $+ \infty$ میل میکند $y$ به سوی$+ \infty$میل میکند و$lnx$ در فاصله صفر تا یک منفی است لذا $y'< 0$ و از یک به بعد $y'>0$ پس نقطه $(1,3)$ نقطه مینیمم مطلق است و مقدار مینیمم مطلق تابع برابر 3 است.

توضیحات تصویر

توسط mahdiahmadileedari (1,123 امتیاز)
خودم هم از این روش رفته بودم ولی در قسمت آخر اشتباه کرده بودم.
سپاسگزارم
0 امتیاز
توسط آزادazad (54 امتیاز)

اگر از تابع ال ان بگیریم میشود ال ان ایکس به توان دو به علاوه ی ال ان ۳ که ال ان سه ثابته کاری نداریم. ال ان اگه منفی باشه که توان دوش مثبته مثبتم باشه توان دوش مثبته ولی در صفر ،حاصل مینیمم است.پس ال ان ایکس باید صفر باشد پس ایکس ۱ است اگر ایکس را به عنوان ورودی کنیم اف ایکس سه است


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...