توجه کنید که دامنهٔ تابعتان $(0,\infty)$ است. احتمالا در گرفتن مشتق از تابعتان مشکل دارید. برای اینکه نیاز به حفظ فرمول اضافی نداشته باشید به این نکته توجه کنید که $x=e^{\ln(x)}$. پس
$$\begin{array}{l}
f(x)=3x^{\ln(x)}=3(e^{\ln(x)})^{\ln(x)}=3e^{(\ln(x))^2}\\
\begin{array}{ll}
\Longrightarrow f'(x) & =3\big((\ln(x))^2\big)'e^{(\ln(x))^2}\\
& =3\times2\ln(x)\big(\ln(x)\big)'e^{(\ln(x))^2}\\
& =6\ln(x)\frac{1}{x}e^{(\ln(x))^2}\\
& =\frac{6x^{\ln(x)}\ln(x)}{x}
\end{array}
\end{array}$$
اکنون چه زمانی $\frac{6x^{\ln(x)}\ln(x)}{x}$ صفر میشود؟ (دوباره توجه داشته باشید که روی $(0,\infty)$ صحبت میکنیم). چند عبارت داریم که در ه ضرب شدهاند $\frac{1}{x}$ و $x^{\ln(x)}$ که همواره مثبت هستند بر این دامنه پس میماند $\ln(x)=0$ که به شما $x=1$ را میدهد. به یاد داشته باشید که این تابع افزایشی اکید و پیوسته است، پس یک به یک نیز است در نتیجه در صورت داشتن نقطهای در دامنه که صفر را بپوشاند، آن نقطه یکتاست و از پیش میدانید که در $x=1$ صفر میشود.
پس مجموعهٔ نقطههایی که برای جستجوی بیشینه و کمینهٔ تابعتان نیاز دارید ابتدا و انتهای دامنه و این نقطهای است که یافتید.
$$\begin{array}{l}
\lim_{x\to 0}f(x)=+\infty\\
f(1)=3\\
\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty
\end{array}$$
پس شما هیچ بیشینهای ندارید ولی یک کمینه (اکید) دارید.
