به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
201 بازدید
در دبیرستان توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

اگر داشته باشیم

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}}=x\sqrt{2}$$

آنگاه $x$ را بیابید.

از اتحاد و ساده‌کردن رادیکال‌ها استفاده کردم به جواب نرسیدم.

توسط AmirHosein (19,582 امتیاز)
@rezasalmanian فرمول‌های ریاضی را تایپ کنید. از تصویر تنها برای شکل‌ها استفاده کنید. عنوان را نیز متنی کلی نگذارید. https://math.irancircle.com/11973 برای نمونه به ویرایشی که انجام دادم نگاه کنید.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط good4us (7,308 امتیاز)
ویرایش شده توسط good4us

ابتدا به دامنه معادله بپردازیم با توجه طرف اول آن $x>0$ و$2- \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ x } } }>0 $

$ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ x } } }< 2 \Rightarrow \sqrt{2+ \sqrt{2+ x } }< 2 \Rightarrow \sqrt{2+ x }< 2 \Rightarrow x< 2 $

به این ترتیب $0< x< 2$ با تغییر متغیر $x$ را برابر $2cos 16 \theta $ فرض می کنیم و لذا $0< 2cos 16 \theta< 2$ و $0< 16 \theta < \frac{ \pi }{2} $ و $0< \theta < \frac{ \pi }{36} $قرار می گیرد.($x=2cos 16 \theta$)

$ \sqrt{ 2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2(1+cos16 \theta) } } }}+\sqrt{ 2- \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2(1+cos16 \theta) } } }}=2 \sqrt{2}cos16 \theta $ $ \sqrt{ 2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{4 cos^{2}8 \theta } } }}+\sqrt{ 2- \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{4 cos^{2}8 \theta } } }}=2 \sqrt{2}cos16 \theta $

با ساده کردن و خروج از رادیکال ها با این روندبه معادله زیر می رسیم:

$\require{cancel}cos \theta +sin \theta = \sqrt{2}cos16 \theta \Rightarrow \cancel{\sqrt{2}}cos(x-\frac{ \pi }{4})=\cancel{\sqrt{2}}cos16 \theta $

باتوجه حل معادله مثلثاتی

$$ \theta = \frac{8k \pi - \pi }{60} یا \theta =\frac{8k \pi + \pi }{68} $$

اگر به $k$ اعداد صحیح بدهیم

$$ k=0 \Rightarrow \theta=\frac{\pi }{68} \Rightarrow \color{red}{x=2cos\frac{4\pi }{17} \simeq 1.48} $$

توجه: این $x$و$\theta$ در حدود قرار دارندو به ازای $k$های دیگر قابل قبول نخواهند بود و تنها جواب معادله تقریباً $1.48$ خواهد بود.

با رسم دو طرف معادله $x$ محل تلاقی یا جواب مشخص است.توضیحات تصویر

توسط mahdiahmadileedari (3,060 امتیاز)
good۴fus@
لطف می کنید دلیل انتخاب این تغییر متغیر را توضیح دهید
ممنونم
توسط good4us (7,308 امتیاز)
mahdiahmadileedari@ اینکه از کجا به این انتخاب میرسم بخصوص تجربه زیاد است اما چیزهایی که باعث می شود که به این فکر کنم اولاً ترک عادات یک روش متعارف مخصوصاً در حل این سوالات سخت تر است خب معمولاً طراح سعی میکند به نوعی کارها را در مراحل حل ما طوری تنظیم کند همان طوری که می بینید با تبدیل هایی که در اطلاعات وذهن  ما هست با تغییر متغیر مثلثاتی درون رادیکال ها را  به مربع کامل برسانیم و در ادامه با این نظم نه تنها از رادیکال ها راحت میشویم بلکه به یک معادله مثلثاتی رسیده واز حل آن نتیجه مطلوب را بیابیم. با حل سوالات  زیاد باید این تجربه ها رادر گنجینه ذهن خودتان ذخیره کنید
توسط rezasalmanian (872 امتیاز)
آیا راهی برای دانش آموز کلاس 9 هم دارد؟
توسط good4us (7,308 امتیاز)
+1
rezasalmanian@ بعید می دانم حداقل به ذهن من نمی رسد.شاید اگر یک ریشه صحیح می داشت از راه آزمون وخطا میشد پیشنهاد داد.
توسط AmirHosein (19,582 امتیاز)
+1
@rezasalmanian به نظر من حداقل یک امتیاز مثبت می‌توانستید به پاسخ بدهید به خاطر اینکه درست است و واقعا هم زیبا نوشته شده‌است. حتی اگر برای کلاس نهم مناسب نباشد، دست‌کم یک پاسخ است و شما هم در متن پرسش اشاره به اینکه فقط روش کلاس نهم می‌خواهید نکرده‌بودید و گفته‌بودید که خودتان اصلا موفق به حلش نشده‌اید. الآن یک امتیاز مثبت به پاسخ داده‌شده‌است که آن را هم من داده‌ام. من اگر پرسش‌کنندهٔ این پست بودم، به عنوان پاسخ برگزیده هم انتخاب می‌کردم. حداقل تا پاسخ دیگری نباشد از نظر منطقی هم در یک مجموعهٔ تک‌عضوی از پاسخ‌های درست، بهترین پاسخ است. در ضمن عنوان پرسش‌های دیگرتان را نیز ویرایش کنید.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...