ابتدا به دامنه معادله بپردازیم
با توجه طرف اول آن $x>0$ و$2- \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ x } } }>0 $
$ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ x } } }< 2 \Rightarrow \sqrt{2+ \sqrt{2+ x } }< 2 \Rightarrow \sqrt{2+ x }< 2 \Rightarrow x< 2 $
به این ترتیب $0< x< 2$ با تغییر متغیر $x$ را برابر $2cos 16 \theta $ فرض می کنیم و لذا $0< 2cos 16 \theta< 2$ و $0< 16 \theta < \frac{ \pi }{2} $ و $0< \theta < \frac{ \pi }{36} $قرار می گیرد.($x=2cos 16 \theta$)
$ \sqrt{ 2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2(1+cos16 \theta) } } }}+\sqrt{ 2- \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{2(1+cos16 \theta) } } }}=2 \sqrt{2}cos16 \theta $
$ \sqrt{ 2+ \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{4 cos^{2}8 \theta } } }}+\sqrt{ 2- \sqrt{2+ \sqrt{2+ \sqrt{4 cos^{2}8 \theta } } }}=2 \sqrt{2}cos16 \theta $
با ساده کردن و خروج از رادیکال ها با این روندبه معادله زیر می رسیم:
$\require{cancel}cos \theta +sin \theta = \sqrt{2}cos16 \theta \Rightarrow \cancel{\sqrt{2}}cos(x-\frac{ \pi }{4})=\cancel{\sqrt{2}}cos16 \theta $
باتوجه حل معادله مثلثاتی
$$ \theta = \frac{8k \pi - \pi }{60} یا \theta =\frac{8k \pi + \pi }{68} $$
اگر به $k$ اعداد صحیح بدهیم
$$ k=0 \Rightarrow \theta=\frac{\pi }{68} \Rightarrow \color{red}{x=2cos\frac{4\pi }{17} \simeq 1.48} $$
توجه: این $x$و$\theta$ در حدود قرار دارندو به ازای $k$های دیگر قابل قبول نخواهند بود و تنها جواب معادله تقریباً $1.48$ خواهد بود.
با رسم دو طرف معادله $x$ محل تلاقی یا جواب مشخص است.
