نشان دهید هر ایدهآل$M_n(R)$ به صورت$ M_n(I) $است که در آن$R$ یک حلقه یکدار و ...

Question

فرض کنید R یک حلقه یکدار باشد نشان دهید هر ایده آل $M_n(R)$ به صورت$ M_n(I) $ است که در آن $I$ یک ایده آل $R$ است پس نشان دهید که $R^{n^2}=M_n(R)$

Answer 1

با سلام. فقط ایده حل رو میگم چون راه حلش ساده و البته طولانیه.

اگر $I$ ایده آلی از $R$ باشد به راحتی می توان دید $M_n(I)$ ایده آلی از $M_n(R)$ است. حال فرض کنیم $X$ ایده آلی از $M_n(R)$ است. اگر $ X=0 $ آنگاه چیزی برای اثبات نداریم. پس فرض می کنیم این ایده آل ناصفر است و بنابراین ماتریسی $ n\times n $ وغیر صفر مثل $A$ در $X$ وجود دارد. فرض کنیم $E_{ij}$ ماتریسی است که درایه $ij$ آن یک و بقیه درایه های آن صفر هستند. به راحتی می توان دید اگر $E_{ij}$ را از چپ در هر ماتریس دلخواه $ n\times n $ ضرب کنیم سطر $j$ ام آن ماتریس را با سطر $i$ ام تعویض کرده و بقیه سطرها را صفر می کند. به همین ترتیب اگر این ماتریس را از راست در هر ماتریس دلخواه ضرب کنیم آنگاه ستون $i$ ام را به ستون $j$ ام انتقال می دهد و بقیه ستون ها را صفر می کند. چون $X$ یک ایده آل است پس حاصل ضرب $E_{ij}$ ها در $A$ بازهم متعلق به $X$ است. اکنون برای هر درایه دلخواه از $A$ مثل $a$ می توانیم به کمک ضرب $A$ در $E_{ij}$ های مناسب به ماتریسی $n\times n$ برسیم که درایه اول آن $ a $ و بقیه درایه های آن صفرند و این ماتریس متعلق به $X$ است(این ماتریس را با $E_{11}(a)$ نشان می دهیم.) . پس برای هر دو درایه از ماتریس های $A,B$ مثل $a,b$ می توان ماتریسهای $E_{11}(a)$ و $E_{11}(b)$ را بدست آورد که متعلق به $X$ هستند. لذا جمع این دو ماتریس متعلق به $X$ است. از طرفی برای هر $r\in R$ باضرب از چپ $E_{11}(r)$ در $E_{11}(a)$ ماتریس $E_{11}(ra)$ متعلق به $X$ بدست می آید.(به همین برای ضرب از راست نیز عمل می کنیم).

اکنون فرض می کنیم $Y \subseteq R$ مجموعه درایه های تمام ماتریس های متعلق به $X$ باشد(در واقع $X=M_{n} (Y)$). با توجه به آن چه بیان شد، برای هر $a,b\in Y$، $a+b\in Y$ و نیز برای هر $x\in Y , r\in R$، $rx \in Y$ و $xr \in Y$ و این نشان می دهد $Y$ ایده آلی از $R$ است.

برای حل قسمت دوم کافیست همریختی مناسبی از $M_n(R)$ به $R^{n^2}$ تعریف کنیم. دقت داریم سطرهای هر ماتریس به شکل یک بردار $n$ تایی است. از کنار هم قرار دادن مولقه های این بردار ها، برداری $n^2$ تایی بدست می آید که در واقع همان $R^{n^2}$ است. اکنون همریختی مورد نظر را تابعی در نظر می گیریم که هر درایه ماتریس را به جایگاهش در این بردار $n^2$ تایی تصویر می کند. به راحتی می توان دید این همریختی یک به یک و پوشاست.