فرض کنید $ X $ فضای نامتناهی فشرده هاوسدورف، و $C(X) $ حلقه ی تمام توابع پیوسته حقیقی روی $ X $ باشد. اولا برای تمام ایده آلهای ماکسیمال مانند$ m $ در $ C(X) $ وجود دارد $ x \in X $ که $m= m_{x}=\{f \in C(X) : f(x)=0 \} $. توجه کنید که هر ایده ال اولیه مشمول در یک ایده آل ماکسیمال منحصربفرد است. فرض کنید چنین نباشد و فرض کنید که $ I \subseteq m_{x} \bigcap m_{y} $ که $ x \neq y $ از آنجایی که $ X $ هاوسدورف است دو همسایه باز مجزا موجودند که $x \in U $ و $y \in V $. از آنجایی که فضای فشرده هاوسدورف، نرمال است لذا لم $Urysohn$ را میتوان به کار برد. بنابراین وجود دارند$f,g $ که $ f(x)=1,f(y)=1 $ و $ f(X \setminus U ) =0 $ و $ g(X \setminus V ) =0 $ و چون $U \cap V = \emptyset $ پس $(X \setminus U) \cup (X \setminus V)=X $ پس $ fg=0 $ اما $ f \in m_{y} \setminus m_{x}$ و $ g^{n} m_{x} \setminus m_{y} $ پس هیچکدام در $ I $ نیستند و این با اولیه بودن $ I $ در تناقض است.
حال فرض کنید که $ q_{i} \in m_{ x_{i} } $ خانواده ی متناهی از ایده آل های اولیه و مشمول در ایده آلی ماکسیمال باشد از آنجایی که هر یک فقط مشمول در یک ایده آل ماکسیمال است لذا یک $ f_{i} \in q_{i}$ وجود دارد که در $ x_{i} $ صفر است و در بقیه نقاط صفر نیست. پس $ \neq \prod_i f_{i} \in \prod q_{i} \subseteq \bigcap q_{i} $ اما از آنجایی که $ X $ نامتناهی نقطه دارد پس $ \bigcap q_{i} \neq (0) $ پس اگر ما ایده آل $ (0)$ را در نظر بگیریم برای این ایده آل نمیتوان تجزیه اولیه نوشت.
