آیا حلقه ای متناهی مولد وجود دارد که ایده آلی نامتناهی مولد داشته باشد؟

Question

چرا ایده‌آل‌های یک حلقهٔ متناهی‌مولد الزاما متناهی‌مولد نمی‌شوند؟

ویرایشگر: پرسش‌کننده مطلب غیرتکراری بیشتری وارد نکرده‌است.

Comments

@Fghanavati به جای تکرار یک جمله دوبار با فعل متفاوت که فقط شرط تعداد حداقل کاراکتر را رفع کند، به تلاش و فکر خود اشاره کنید. برای نمونه آیا تعریف متناهی مولد بودن حلقه و ایده‌آل را متوجه شده‌اید، یا آیا در حلقه‌هایی که قبلا آشنا شده‌اید گشته‌اید و از این قبیل. شرط تعداد حداقل کاراکتر برای این گذاشته شده‌است که پرسش را تلگرافی ننویسید و به مشکل یا تلاش خود اشاره کنید.

Answer 1

مجموعهٔ $\lbrace x_i\rbrace_{i\in\mathbb{N}}$ را یک مجموع از متغیرهای مستقل از هم در نظر بگیرید. اکنون $R$ را حلقهٔ چندجمله‌ای‌های با این متغیرها و ضرایب از یک حلقهٔ دیگر مانند $S$ در نظر بگیرید. پس $R=S[x_1,x_2,\dots]$. این حلقه، یک حلقهٔ یک‌دار است، یک آن همان چندجمله‌ای ثابت ۱ است. توجه کنید که زمانی که می‌گوئید یک حلقه متناهی مولد است، منظورتان به عنوان $R$-مدول است که $R$ خودش است. حلقه‌های یک‌دار به طور بدیهی متناهی‌مولد هستند چون با مجموعهٔ تک‌عضویِ $\lbrace 1\rbrace$ تولید می‌شوند. پس $R$ متناهی‌مولد است. از طرفی ایده‌آلِ تولیدشده بوسیلهٔ مجموعهٔ متغیرهایمان را در نظر بگیرید! $I=\langle x_1,x_2,\dots\rangle$. هر زیرمجموعهٔ متناهی از $R$ که بردارید دو حالت دارد. یا دارای چندجمله‌ای ثابت است که در اینصورت ایده‌آل تولیدشده بوسیلهٔ آن کل $R$ می‌شود که از $I$ بزرگتر است، پس مولدی برای $I$ شمرده نمی‌شود. یا اینکه عضو ثابتی ندارد. در اینصورت توجه کنید که تعداد متغیرهایی که در این زیرمجموعهٔ متناهی ظاهر می‌شوند متناهی است (چون درجهٔ چندجمله‌ای‌ها متناهی است) پس کل متغیرها را ندارند. به فرض $x_i$ یک متغیر باشد که در هیچ یک از چندجمله‌ای‌های داخل این مجموعهٔ متناهی پیدا نمی‌شود. در اینصورت روشن است که چندجمله‌ای $x_i$ (که یک تک‌جمله‌ای درجهٔ ۱ با فقط $x_i$ است) در ایده‌آل تولیدشده بوسیلهٔ آن مجموعه هم ظاهر نخواهد شد. پس $I$ هیچ مجموعهٔ سازندهٔ متناهی‌ای ندارد و در نتیجه یک ایده‌آل نامتناهی‌مولد است.