حلقهٔ عددهای صحیح $\mathbb{Z}$ با عملهای جمع و ضرب معمولی اعداد را در نظر بگیرید. احتمالا باید در درس یا تمرینهایش دیدهباشید که این حلقه یک دامنهٔ ایدهآلهای اصلی است یعنی هر ایدهآل بوسیلهٔ یک عضو تولید میشود. بعلاوه ایدهآلِ $\langle k\rangle$ اول است اگر و تنها اگر $k$ یک عدد اول باشد. بعلاوه باید دیدهباشید که
$$
\langle k_1\rangle\cap\langle k_2\rangle = \langle \text{l.c.m.}(k_1, k_2)\rangle\\
\langle k_1\rangle + \langle k_2\rangle = \langle \text{g.c.d.}(k_1, k_2)\rangle\\
\langle k_1\rangle \cdot \langle k_2\rangle = \langle\lbrace r_1r_2\mid r_1\in \langle k_1\rangle, r_2\in\langle k_2\rangle\rbrace\rangle =\langle k_1k_2\rangle
$$
که منظور از l.c.m و g.c.d که به ترتیب کوتاهشدهٔ least common multiple و greatest common divisor هستند، همان ک.م.م و ب.م.م است. اکنون دو ایدهآل اول دلخواه و نایکسان در $\mathbb{Z}$ بردارید، پس یکی با عدد اول $p$ و دیگری با عدد اول $q$ تولید شدهاند. اشتراک این دو ایدهآل بوسیلهٔ ک.م.م آن دو تولید میشود، ولی ک.م.م دو عدد اول متمایز برابر با ضرب آن دو یعنی $pq$ میشود که عددی اول نیست در نتیجه این اشتراک یک ایدهآل اول نمیباشد. جمع این دو ایدهآل با ب.م.م این دو عدد ساخته میشود ولی ب.م.م دو عدد اول نایکسان برابر با ۱ است و ایدهآل تولیدشده بوسیلهٔ عنصر همانیِ ضربیِ حلقه برابر با خود حلقه میشود که ایدهآلی اول نیست (ایدهآل اول یک ایدهآل سره است). در آخر نیز ایدهآل تولید شده بوسیلهٔ ضرب این دو ایدهآل بوسیلهٔ حاصلضرب $p$ و $q$ ساخته میشود که اول نیست.
