مثال از حلقه ناجابجایی نایکدار که هرایده آل راست آن ایده آل دوطرفه باشد اما ایده آل چپی داشته باشد که دوطرفه نباشد.

Question

یک حلقهٔ ناجابجایی بدون یک چنان بیابید که هرایده‌آل راست آن یک ایده‌آل (ایده‌آل دوطرفه) باشد اما دارای ایده‌آل چپی باشدکه ایده‌آل (ایده‌آل دوطرفه) نیست.

Answer 1

حلقهٔ ماتریس‌های دو در دوی حقیقی که تنها درایه‌های سطر دوم آنها می‌توانند ناصفر باشند را با جمع و ضرب معمول ماتریس‌ها را در نظر بگیرید. بدیهی است که ضرب در این حلقه جابجایی نیست و همینطور عضو همانی نسبت به ضرب نداریم (ماتریس همانی در مجموعهٔ پس‌زمینهٔ این حلقه نیست و هیچ عنصر دیگری نسبت به ضرب ماتریسی برای اعضای این حلقه خنثی نیست). این حلقه تنها ۴ ایده‌آل دارد. دو تای آنها ایده‌آل‌های دوطرفهٔ بدیهی هستند یعنی تک‌عضوی صفر و کل حلقه. ایده‌آل سوم ماتریس‌های با درایهٔ سطر ۲، ستون ۱ برابر صفر هستند که ایده‌آل دوطرفه است. ایده‌آل آخر، ماتریس‌های با درایهٔ سطر ۲، ستون ۲ برابر صفر هستند که تنها ایده‌آل چپ است. پس در این نمونه، همهٔ ایده‌آل‌های راست، دوطرفه هستند ولی ایده‌آل چپی هست که دوطرفه نیست. خیلی راحت می‌توانید مثال برای عکس این موضوع بسازید که هر ایده‌آل چپ دوطرفه باشد ولی ایده‌آل راستی یافت شود که دوطرفه نباشد. کافیست به جای سطر دوم، ستون دوم را در این نمونه بگذارید.